P5689 多叉堆

写在前面

• OI 生涯中 AC 的首道组合数学应用题。

• 开题 5min 发现规律，写了半下午代码，调了两天，然而甚至没过样例，心态崩了。几天之后重新写了一份代码才 AC。

• 虽然思维难度不大，但毕竟是联赛题，题目质量还是很高的。涉及到了很多组合数学的基础算法，写完之后感觉学到了很多。感觉这道题是道不错的组合数学入门题。接下来我将会尽量详细地进行讲解。

数据结构

只有根节点的答案有用。任何一个节点在更新完其父亲结点的值后，其本身的任何值将不会再有任何改动或贡献，因此用并查集维护即可，记得路径压缩。

算法思路

解决这道题的关键，在于连接两个节点时答案的更新和与答案相关的值的维护。

设 \(a_i\) 表示以 \(i\) 为根节点的子树的填数方案总数。

假设当前连接的两个节点的编号分别是 \(u,v\)（保证两个节点都是根节点），且本次操作需要从 \(u\) 接到 \(v\) 上去。

比较显而易见的一点是，更新答案时，节点 \(v\) 所处的位置，一定只能填 \(0\)。

维护 \(w_i\) 表示以 \(i\) 为根的树的重量，即节点数。将 \(u\) 连接到 \(v\) 上时，将 \(w_v\) 的值加上 \(w_u\)。

那么填入原来的 \(u\) 子树中的数字就有 \(w_v - 1\) 选 \(w_u\) 种不同的选择方案。剩下的数字填入原来的 \(v\) 子树中。又原本 \(u,v\) 子树中的填数总方案数分别为 \(a_u,a_v\)。那么根据乘法原理，就可以将 \(a_v\) 更新为 \(a_v \times a_u \times \binom{n}{m}\)

组合数求法

1. 杨辉三角，加法，可以取模。但是这是 P2822 的组合数求法，需要用到二维数组，数组大小开不下，只能过 50% 的数据。

2. 直接根据组合数计算公式：

\[\binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n - m)!} \]

直接用计算式来求组合数。预处理出阶乘。等下，模意义下的乘法……要求逆元啊。线性递推求逆元可以参考 P3811 的题解。

这道题的除数是可以大到 \(10^9 + 7\) 的，因此不能直接递推预处理逆元，但是只会用到阶乘的逆元，预处理这个即可。

那么怎么线性递推呢？看这里：（为了更好体现逆元的形式，式子中保证了分数分子上都是 \(1\)）

\[\frac{1}{i!} = \frac{1}{i\cdot(i - 1)!} = \frac{1}{i}\cdot\frac{1}{(i - 1)!} \]

\[\frac{1}{(i - 1)!} = i\cdot\frac{1}{i!} \]

因此，首先根据费马小定理推论用快速幂算出 \(\frac{1}{n!}\) 随后倒序枚举预处理即可。

Tips

• 节点编号是从 \(0\) 开始的，记得初始化的时候把 \(a_0,w_0\) 也一并设为 \(1\)。（我卡了几天就是因为这个）
• 注意输入格式，别忘了强制在线。
• 处理阶乘的逆元记得要枚举到 \(0\)，不然 \(m = 0\) 的时候 \(\binom{n}{m}\) 的值是错的。

Code

代码可读性还是很高的。

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long

using namespace std;

const int Maxn = 3e5 + 5;
const LL Mod = 1e9 + 7;

int n, q, opt, x, y;
int Ans;
LL a[Maxn] = {1};
int w[Maxn] = {1}; 

/*快速幂*/ 
inline LL qpow(LL b, LL p)
{
	if(p == 0) return 1;
	LL x = 1;
	for(; p;b *= b, b %= Mod,p >>= 1) if(p & 1) x *= b, x %= Mod;
	return x;
}

/*并查集*/
int fa[Maxn];

int find(int t)
{
	return fa[t] == t ? t : fa[t] = find(fa[t]);
}

/*数学*/
LL fac[Maxn] = {1};
LL invf[Maxn];

LL C(int N, int M)
{
	return 1ll * fac[N] % Mod * invf[M] % Mod * invf[N - M] % Mod;
}

/*预处理*/ 
void Setup()
{
	for(register int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		fa[i] = i;
		w[i] = a[i] = 1;
		fac[i] = fac[i - 1] * i;
		fac[i] %= Mod;
	}
	invf[n] = qpow(fac[n], Mod - 2);
	for(register int i = n - 1; i >= 0; --i)
	{
		invf[i] = invf[i + 1] * (i + 1);
		invf[i] %= Mod;
	}
}

/*链接 处理答案*/
void line(int u, int v)
{
	w[v] += w[u];
	a[v] = a[v] * a[u] % Mod * C(w[v] - 1, w[u]) % Mod;
	fa[u] = v;
}

/*输出答案 更新强制在线值*/
void print(int t)
{
	Ans = (int)a[t];
	printf("%d\n", Ans);
} 

/*快速读入*/ 
inline int read()
{
	int f = 1, w = 0; char ch = getchar();
	for(; (ch < '0') || (ch > '9'); ch = getchar()) if(ch == '-') f = -1;
	for(; (ch >= '0') && (ch <= '9'); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (int)(ch ^ '0');
	return f * w;
}

int main()
{
	n = read(); q = read();
	Setup();
	while(q--)
	{
		opt = read();
		if(opt == 1)
		{
			x = (read() + Ans) % n;
			y = (read() + Ans) % n;
			x = find(x); y = find(y);
			line(x, y); 
		}
		else
		{
			x = (read() + Ans) % n;
			x = find(x);
			print(x);
		}
	}
	return 0;
}