腾讯音乐娱乐集团2024校园招聘-技术研究类笔试（I）

小红的二叉树计数

题目描述

小红定义一个二叉树为“好二叉树”，当且仅当该二叉树所有节点的孩子数量为偶数（0 或者 2）。小红想知道，n 个节点组成的好二叉树，共有多少种不同的形态？答案请对 10⁹+7 取模。

数据范围

• 1 ≤ n ≤ 3000

解题思路

1. 所有好二叉树的节点的数量均为奇数；
2. 一棵二叉树的形态由其左子树和右子树的形态决定。

代码实现

int cntOfTrees(int n) {
    const int N = 3e3 + 5, MOD = 1e9 + 7;
    long long dp[N] = {0};
    // 节点个数为偶数时无法构成好二叉树
    if (!(n & 1)) return 0;
    dp[1] = dp[3] = 1;
    for (int i = 5; i <= n; i += 2) {
        for (int j = 1, k = i - 1; j < k; j += 2) {
            dp[i] += (dp[j] * dp[k - j]) % MOD;
            dp[i] %= MOD;
        }
    }
    return (int) dp[n];
}

时间复杂度：O(n²)

空间复杂度：O(n²)

小红的可爱串

题目描述

小红定义一个字符串是可爱串，当且仅当该字符串包含子序列 red，且不包含子串 red。

我们定义子序列为字符串中可以不连续的一段，而子串则必须连续。例如 rderd 包含子序列 red，且不包含子串 red，因此该字符串为可爱串。

小红想知道，长度为 n 的、仅由 r、e、d 三种字母组成的字符串中，有多少是可爱串？答案请对 10⁹+7 取模。

数据范围

• 1 ≤ n ≤ 10⁵

解题思路

1. 包含子串 red 的字符串的集合 ∈ 包含子序列 red 的字符串集合。

2. 可爱串的数量 = 包含子序列 red 的字符串的数量 - 包含子串 red 的字符串的数量 。

3. 如何构造包含子串 red 的字符串（记字符串为 s） ？

   • 令 f[i] = 长度为 i 的字符串中包含子串 red 的字符串的数量。
   • 分为两种情况
     • 若 s[i] 为 r 或 e，则 s[i] 必定不影响 f[i]，f[i] = f[i-1] + f[i-1]。
     • 若 s[i] 为 d
       • 若 s[i] 不影响 f[i]，即 s[1..i-1] 已包含子串 red，则 f[i] = f[i-1]。
       • 若 s[i] 影响 f[i]，即 s[1..i-3] 不含子串 red，但 s[i-2..i-1]= re，加上 s[i] 即可构成子串 red，则 f[i] = 3^(i-3)-f[i-3]。
   • 综上，f[i] = 3 * f[i-1] + 3^(i-3)-f[i-3]。

4. 如何构造包含子序列 red 的字符串（记字符串为 s）？

   • 令 g[i] = 长度为 i 的字符串中包含子序列 red 的字符串的数量。
   • 分为两种情况
     • 若 s[i] 为 r 或 e，则 s[i] 必定不影响 g[i]，g[i] = g[i-1] + g[i-1]。
     • 若 s[i] 为 d
       • 若 s[i] 不影响 g[i]，即 s[1..i-1] 已包含子序列 red，则 g[i] = g[i-1]。
       • 若 s[i] 影响 g[i]，即 s[1..i-i] 不含子序列 red，但含子序列 re，加上 s[i] 即可构成子序列 red，令 h[i] = 长度为 i 的字符串中不含子序列 red但含子序列 re 的字符串的数量，则 g[i] = h[i-1]。
     • 综上所述，g[i] = 3 * g[i-1] + h[i-1]。

5. 如何构造不含子序列 red且含子序列 re 的字符串，即如何计算 f[i]（记字符串为 s）？

   • 令 h[i] = 长度为 i 的字符串中不含子序列 red 但含子序列 re 的字符串的数量（第4点中已进行如此假设）。

   • s[i] 是否能为 d？包含子序列 re、不包含子序列 red、s[i] = d，满足这三个条件的字符串不存在，故不考虑 s[i] = d 的情况。

   • 分为两种情况

     • 若 s[i] 为 r，则 s[i] 必定不影响 h[i]，h[i] = h[i-1]。

     • 若 s[i] 为 e

       • 若 s[i] 不影响 h[i]，即 s[1..i-1] 已包含子序列 re 且不含子序列 red，则 h[i] = h[i-1]。

       • 若 s[i] 影响 h[i]，即 s[1..i-1] 不满足（已包含子序列 re 且不含子序列 red），但含有子序列 r，加上 s[i] 即可构成子序列 re。

         令条件 A = 不满足（已包含子序列 re 且不含子序列 red）但含有子序列 r，设满足条件 A 的字符串为 t，下面考虑如何构造 t。

         t 的长度为 i-1，t 至少包含一个子序列 r，手动将一个子序列 r 填入 t，记作 R，并规定手动填入的 R 的左边空位不能填入 r，R 有 i-1 个位置可以选择，以 R 为界

         • R 左边的空位只可填入 e 或 d，这是因为，为了防止重复计算，人为规定 R 的左边空位不能填 r。
         • R 右边的空位只可填入 r 或 d，这是因为，R 右边空位若填入 e，则 s[1..i-1] 则含有子序列 re，s[i] 对 h[i] 无影响，这与前置条件相矛盾，故R 右边空位不可以填入 e。

         经过分析，R 左边和右边空位均只可以填入两种字符，共有 i-2 个空位，共有 2^(i-2) 种填充方式，又因为 R 有 i-1 中填充方式，故 t 的数量有 (i-1) * 2^(i-2) ，也即 h[i] = (i-1) * 2^(i-2)。

     • 综上所述，h[i] = 2 * h[i-1] + (i-1) * 2^(i-2)。

6. 综上所述，长度为 n 的可爱串的数量为 g[n]-f[n]。

代码实现

typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 5, MOD = 1e9 + 7;
ll f[N], g[N], h[N];

// 快速幂
ll ksm(ll x, ll n) {
    ll res = 1 % MOD;
    while (n) {
        if (n & 1)res = res * x % MOD;
        x = x * x % MOD;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

int kawaiiStrings(int n) {
    // f[i] = 长度为 i 的字符串中包含子串 red 的字符串的数量
    for (int i = 3; i <= n; i++)
        f[i] = (f[i - 1] * 3 + ksm(3, i - 3) - f[i - 3]) % MOD;
    // h[i] = 长度为 i 的字符串中不含子序列 red 但含子序列 re 的字符串的数量
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        h[i] = (h[i - 1] * 2 + (i - 1) * ksm(2, i - 2)) % MOD;
    // g[i] = 长度为 i 的字符串中包含子序列 red 的字符串
    for (int i = 3; i <= n; i++)
        g[i] = (g[i - 1] * 3 + h[i - 1]) % MOD;
    return int((g[n] - f[n] + MOD) % MOD);
}

时间复杂度：O(n)

空间复杂度：O(n)

小红的元素乘积

题目描述

小红定义一个数为“完美数”，当且仅当该数仅有一个非零数字。例如5000、4、1、10、200都是完美数。小红拿到了一个大小为 n 的数组，她希望选择两个元素，满足它们的乘积为完美数。小红想知道，共有多少种不同的取法？

数据范围

• 1 ≤ n ≤ 2000
• 1 ≤ a_i ≤ 10⁹

解题思路

枚举判断即可。

代码实现

typedef long long ll;

bool check(ll x) {
    if (x < 10)return true;
    string s = to_string(x);
    for (int i = 1; i < s.size(); i++)
        if (s[i] != '0')return false;
    return true;
}

int perfectPair(vector<int> &arr) {
    int n = arr.size(), res = 0;
    if (n < 2)return 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            if (check((ll) arr[i] * arr[j]))res++;
        }
    }
    return res;
}

时间复杂度：O(n²)

空间复杂度：O(1)

END

题目来源：腾讯音乐娱乐集团2024校园招聘-技术研究类笔试（I）

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