【每日一题】最长等差数列

1027. 最长等差数列

关键词：动态规划、线性dp

题目来源：1027. 最长等差数列 - 力扣（Leetcode）

题目描述

 T动态规划
 T线性dp

给你一个整数数组 nums，返回 nums 中最长等差子序列的长度。

回想一下，nums 的子序列是一个列表 nums[i1], nums[i2], ..., nums[ik] ，且 0 <= i1 < i2 < ... < ik <= nums.length - 1。并且如果 seq[i+1] - seq[i]( 0 <= i < seq.length - 1) 的值都相同，那么序列 seq 是等差的。

输入：nums = [3,6,9,12]
输出：4
解释： 
整个数组是公差为 3 的等差数列。

输入：nums = [9,4,7,2,10]
输出：3
解释：
最长的等差子序列是 [4,7,10]。

输入：nums = [20,1,15,3,10,5,8]
输出：4
解释：
最长的等差子序列是 [20,15,10,5]。

数据范围
2 <= nums.length <= 1000
0 <= nums[i] <= 500

问题分析

本题与最长递增子序列几乎相同。回顾最长递增子序列的做法：枚举a[i]，以a[i]结尾的最长递增子序列等于max(f[j])，其中a[j]＜a[i]且j＜i。本题同样是求最长“递增子序列”，不同的是，本题的“递增”有可能为负，且每次“递增的量必须相同”，于是，需要增加一维，用于记录每次递增的量，也即有如下定义：

f(i, d) = 以a[i]结尾的，“增量”为d的最长序列的长度，于是有：f(i, d) = f(j, d) + 1，其中d=a[i]-a[j]。由于d可能为负，当不会小于﹣500，可以统一+500。

时间复杂度：O(n^2)

空间复杂度：O(n^2)

代码实现

int longestArithSeqLength(vector<int> &nums) {
    const int N = 500, M = (N << 1) + 5;
    int f[N][M] = {0}, n = nums.size(), maxLen = 0;
    for (int i = 1, d; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            d = nums[i] - nums[j] + N;
            f[i][d] = f[j][d] + 1;
            maxLen = max(f[i][d], maxLen);
        }
    }
    return maxLen+1;
}