排列组合（一）

n个相同的球放入m个不同的盒子

(1)每个盒子球数都大于1(n>=m)：

  证明：把n个球分成m个部分，既隔板问题；

       在n个球中，放入m-1个板子（n-1个空），既C(n-1,m-1)；

       类似于求x1+x2+x3+.....+xm=n正整数的个数；

(2)盒子球数可为空(n>=m)：

  证明：每个盒子先放入1个球，就不为空了，然后：（如下)

       把n+m个球分成m个部分，既隔板问题；

       在n+m个球中，放入m-1个板子（n-1个空），既C(m+n-1,m-1)=C(m+n-1,n)；

       类似于求x1+x2+x3+.....+xm=m+n正整数的个数；

(3)n<m必须盒子可为空：

  既先求n个相同的球放入n个不同的盒子，然后在乘以C(m,n)。

 

n个不同的球放入m个不同的盒子

(1)盒子可为空(n>=m)：

证明：易计算的结果为m^n;

(2)盒子不可为空（n>=m):

证明：先从n个球中选出m个（C(n,m)），然后将m个球放入m个盒子里且每个盒子至少有一个（m!），剩下的n-m个球再放入这m个盒子（m^(n-m)）（类似于上面）;

所以结果为C(n,m)*(m!)*(m^(n-m));

(3)n<m（必须可为空）:

证明：先选出n个盒子（C(m,n)）,然后就是n个不同的球放入n个不同的盒子（n^n）,

所以结果：C(m,n)*(n^n).

 

n个不同的球放入m个相同的盒子

(1)至少有一个球（n>=m):

证明：用S(n,m)表示方案数，球是不同的，我们把这些球从1到n编号：

一:把编号为1的球拿出来放入一个盒子，其余的n-1个球放入m-1个盒子里，既S(n-1,m-1);

二：如果1号球所在的盒子不止一个球，那么先把n-1个球放入m个盒子里，再把1号球放入，既k*S(n-1,m)(其中k和盒子数相同);

所以：S(n,m)=S(n-1,m-1)+m*S(n-1,m). 其中S(n,1)=1,s(n,n)=1。

(2)可为空（n>=m):

证明：S(n,m)+S(n,m-1)+S(n,m-2)+.......+S(n,2)+S(n,1)。

(3)(n<m):

证明：结果为S(n,n)+S(n,n-1)+.......+S(n,2)+S(n,1)。

 

n个相同的球放入m个相同的盒子

(1)至少有一个球（n>=m):

证明：相当于把整数n从小到大分成m个数，记为x1<=x2<=x3<=.......xm且x1>=1,记A(n,m)表示n分成m个数且x1>=1的方案数，

一种是x1=1,方案书是A(n-1,m-1),另一种是x1>=2,此时数组x1,x2....xm与x1-1,x2-1,......xm-1一一对应，方案数为A(n-m,m),

所以A(n,m)=A(n-1,m-1)+A(n-m,m),其中A(k,1)=1,A(k,k)=1当k<m时，A(k,m)=0;

(2)可为空（n>=m):

相当于把整数n从小到大分成m个数，记为x1<=x2<=x3<=.......xm且x1>=0，记xi=xi+1,i=1,2,3....m,

所以方案数为A(n+m,m);

(3)n<m:
方案数为：A(n,m)=A(n,n)。