P9545 [湖北省选模拟 2023] 环山危路 / road 题解

显然可以看作竞赛图上的最大流，考虑转化为最小割。

令 \(S\) 为包含 \(s_1,s_2,\dots,s_k\) 但不包含 \(t_i\) 的点集，\(T=\{1,2,\dots,n\}\backslash S\)，则代价为 \(\sum_{x\in S}\sum_{y\in T}v_{x,y}\)，记为 \(f(S,T)\)。

放在竞赛图上可以找到一些性质：\(f(S,T)+f(T,S)=|S|\times |T|,f(S,T)-f(T,S)=\sum_{x\in S}\text{out}_x-\text{in}_x\)，由这两个值可以得到 \(f(S,T)\)。于是将所有点按 \(\text{out}_x-\text{in}_x\) 从小到大排序，然后贪心取就做完了，时间复杂度 \(\mathcal O(n(n+m))\)。

参考代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define mxn 3003
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
#define rept(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define drep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
using namespace std;
int n,m,st,sm,ct,ans,c[mxn],p[mxn];
char s[mxn][mxn];
bool v[mxn];
signed main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	rep(i,1,n){
		scanf("%s",s[i]+1);
		rep(j,1,n)if(i!=j){
			if(s[i][j]=='1')c[i]++;
			else c[i]--;
		}
		p[i]=i;
	}
	sort(p+1,p+n+1,[](int x,int y){
		return c[x]<c[y];
	});
	int t,x;
	while(m--){
		rep(i,1,n)v[i]=0;
		scanf("%d%d",&st,&t);
		sm=0,ct=t;
		while(t--)scanf("%d",&x),v[x]=1,sm+=c[x];
		ans=sm+ct*(n-ct);
		rep(i,1,n){
			x=p[i];
			if(x==st||v[x])continue;
			sm+=c[x],ct++;
			ans=min(ans,sm+ct*(n-ct));
		}
		cout<<(ans>>1)<<'\n';
	}
	return 0;
}