CF1473G Tiles 题解

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记 $g_i$ 表示走到当前添加的 $a+b$ 列前的最后一列的第 $i$ 行的方案数，$f_i$ 表示添加完后的方案数。考虑枚举中间最长的一列经过的是哪一行（记为第 $k$ 行），易得贡献为 ${a\choose k-i}{b\choose k-j}$，用范德蒙德卷积推一下容易发现总贡献为 ${a+b\choose b+j-i}$。

那么转移式就是：

$$f_i=\sum_j {a+b\choose b+j-i}\times g_j$$

很板，直接 NTT 卷积即可。

参考代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mxn 16384
#define md 998244353
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define rept(i,a,b) for(int i=a;i<b;++i)
#define drep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
using namespace std;
ll power(ll x,int y){
    ll ans=1;
    for(;y;y>>=1){
        if(y&1)ans=ans*x%md;
        x=x*x%md;
    }
    return ans;
}
int n,a,b,k,s,sm,rev[mxn];
ll ans,f[mxn],g[mxn],f1[mxn],fac[200003],ifac[200003];
void ntt(ll *a,int n,int flag){
    rept(i,0,n)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int h=1;h<n;h<<=1){
        ll x,y,s=power(3,499122176/h);
        for(int j=0;j<n;j+=h<<1){
            ll w=1;
            for(int k=j;k<j+h;++k){
                x=a[k],y=w*a[k+h]%md;
                a[k]=(x+y)%md;
                a[k+h]=(x-y+md)%md;
                w=w*s%md;
            }
        }
    }
    if(flag==-1){
        ll p=power(n,md-2);
        reverse(a+1,a+n);
        rept(i,0,n)a[i]=a[i]*p%md;
    }
}
void init(int n){
    fac[0]=1;
    rep(i,1,n)fac[i]=fac[i-1]*i%md;
    ifac[n]=power(fac[n],md-2);
    drep(i,n,1)ifac[i-1]=ifac[i]*i%md; 
}
ll C(int n,int m){
    if(m<0||m>n)return 0;
    return fac[n]*ifac[m]%md*ifac[n-m]%md;
}
signed main(){
    init(2e5); 
    cin>>n;
    sm=1,f[1]=1;
    while(n--){
        cin>>a>>b;
        for(k=0,s=1;s<sm+(sm+a-b)+sm;s<<=1,++k);
        rept(i,0,s)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));
        rept(i,0,s)g[i]=0;
        rep(k,1-sm,sm+a-b-1){
            g[k+sm]=C(a+b,b+k);
        }
        ntt(g,s,1);
        ntt(f,s,1);
        rept(i,0,s)f1[i]=f[i]*g[i]%md;
        ntt(f1,s,-1);
        f[0]=0;
        rep(i,1,sm+a-b)f[i]=f1[i+sm];
        rept(i,sm+a-b+1,s)f[i]=0;
        sm+=a-b;
    }
    rep(i,1,sm)ans=(ans+f[i])%md;
    cout<<ans;
    return 0;
}