动态规划：剑指 Offer 47. 礼物的最大价值

题目描述：

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。

给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

 

提示：

• 0 < grid.length <= 200
• 0 < grid[0].length <= 200

 

解题思路：
题目说明：从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次 向右 或者 向下 移动一格、直到到达棋盘的右下角。
根据题目说明，易得某单元格只可能从上边单元格或左边单元格到达。

设 f(i, j)为从棋盘左上角走至单元格 (i ,j)的礼物最大累计价值，易得到以下递推关系：f(i,j) 等于 f(i,j−1) 和 f(i−1,j) 中的较大值加上当前单元格礼物价值 grid(i,j) 。

f(i,j)=max[f(i,j−1),f(i−1,j)]+grid(i,j)

因此，可用动态规划解决此问题，以上公式便为转移方程。

 

 

动态规划解析：
　　•状态定义： 设动态规划矩阵 dp ，dp(i,j) 代表从棋盘的左上角开始，到达单元格 (i,j) 时能拿到礼物的最大累计价值。
　　•转移方程：

                 

 

　　•初始状态： dp[0][0]=grid[0][0] ，即到达单元格 (0,0) 时能拿到礼物的最大累计价值为 grid[0][0] ；
　　•返回值： dp[m−1][n−1] ，m,n 分别为矩阵的行高和列宽，即返回 dp 矩阵右下角元素。

 

空间复杂度优化：
　　由于 dp[i][j] 只与 dp[i-1][j] , dp[i][j−1] ,grid[i][j] 有关系，因此可以将原矩阵 grid 用作 dp 矩阵，即直接在 grid 上修改即可。
　　应用此方法可省去 dp 矩阵使用的额外空间，因此空间复杂度从 O(MN) 降至 O(1) 。

 

复杂度分析：
　　时间复杂度 O(MN) ： M,N 分别为矩阵行高、列宽；动态规划需遍历整个 grid 矩阵，使用 O(MN) 时间。
　　空间复杂度 O(1) ： 原地修改使用常数大小的额外空间。

 

class Solution{
    public int maxValue(int grid[][]){
        //m获取行数 n获取列数
        int m = grid.length,n = grid[0].length;
        for (int i = 0;i<m;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                if(i==0&&j==0) continue;//起始元素
                if(i==0) grid[i][j]+=grid[i][j-1];//矩阵第一行元素，只可从左边到达
                else if(j==0) grid[i][j]+=grid[i-1][j];//矩阵第一列元素，只可从上边到达
                else grid[i][j]+=Math.max(grid[i-1][j],grid[i][j-1]);//可从左边或上边到达
            }
        }
        return grid[m-1][n-1];
    }
}

 

动态规划4部曲：1.状态定义（设动态规划矩阵 dp） 2.转移方程（探讨下一状态与当前状态之间的关系） 3.初始状态（初始化） 4.返回值dp[l-1]