【Luogu P1120】小木棍

题目：

乔治有一些同样长的小木棍，他把这些木棍随意砍成几段，直到每段的长都不超过$50$。
现在，他想把小木棍拼接成原来的样子，但是却忘记了自己开始时有多少根木棍和它们的长度。
给出每段小木棍的长度，编程帮他找出原始木棍的最小可能长度。

分析：

可以很轻易的写出$\rm dfs$的程序：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 105;

int st[MAXN], n, s = 0;
bool vis[MAXN];

void dfs(int cur, int len, int w) {
    if(cur == s / len) {
        cout << len << endl;
        exit(0);
    }
    if(w == 0) {
        dfs(cur + 1, len, len);
        return;
    }
    for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
        if(w - st[i] >= 0 && !vis[i]) {
            vis[i] = true;
            dfs(cur, len, w - st[i]);
            vis[i] = false;
        }
}

int main() {
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> st[i];
        s += st[i];
    }
    sort(st, st + n);
    for(int i = 1; i <= s; i++)
        if(s % i == 0) {
            dfs(0, i, i);
        }
    return 0;
}

然而，上面的代码时间复杂度是$O(n! \log  \sum a_i)$左右，显然不可以接受。

首先我们发现：

$1$）从按木棍大到小搜索，因为长度小的比长度大的更加灵活。

$2$）若当前剩余长度$\lt$最小的木棍的长度，那么这个方案就没用了

$3$）如果当前长度的木棍拼接无法成功，那么同样长度的木棍拼接也无法成功。

$4$）若选择这个木棍来拼接后没有成功，且当前的剩余长度$=$这个木棍的长度，应当直接退出，因为这根木棍显然要自成一个大木棍，而拼下去却失败，说明剩下的小木棍无法拼接成这根木棍。

$5$）若选择这个木棍来拼接后没有成功，且当前的剩余长度$=$我们枚举的长度$len$，应当直接退出，因为这根木棍肯定会需要用上，而这里失败了，说明它最后用不到了。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 105, inf = 1e9;

int st[MAXN], n, s = 0, len, maxi = -inf, mini = inf;
bool vis[MAXN];

void dfs(int cur, int w, int last) {
    if(cur == s / len) {
        cout << len << endl;
        exit(0);
    }
    if(w == 0) {
        dfs(cur + 1, len, -1);
        return;
    }
    if(w < mini) return;
    for(register int i = last + 1; i < n; i++)
        if(w - st[i] >= 0 && !vis[i]) {
            vis[i] = true;
            dfs(cur, w - st[i], i);
            vis[i] = false;
            while(i && st[i] == st[i - 1]) i++;
            if(w == st[i] || w == len) return;
        }
}

int main() {
    cin >> n;
    for(register int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> st[i];
        s += st[i];
        maxi = max(maxi, st[i]);
        mini = min(mini, st[i]);
    }
    sort(st, st + n, [](int x, int y){
        return x > y;
    });
    for(register int i = maxi; i <= s; i++)
        if(s % i == 0) {
            len = i;
            dfs(0, i, -1);
        }
    return 0;
}