【笔记】线段树维护区间历史版本和
区间加操作的题见 这个博客
给定长为 \(n\) 的01序列，\(m\) 个询问，第 \(i\) 次认为产生一个新版本 \(i\)；要求支持：
- 区间翻转（其实是01反转的反转，下面全写成翻转了，就当我是个丈育。。）
- 设 \(S(v, l, r)\) 为第 \(v\) 个版本的区间 \([l, r]\) 和，求 \(\sum^i_{v=1} S(v, l, r)\)（认为此次产生了一个和版本 \(i-1\) 完全相同的版本 \(i\)）
以下是瞎想的做法，应该有更好理解的做法或者直接用矩阵刻画
对每个节点，维护：
当前区间和 \(sum\)，历史区间和 \(sumh\)，当前待下放的代表是否需要翻转的 \(curtag = 1/0\)，当前待下放的操作序列（tag 的本质）中，相对原本没有/有翻转的次数 \(tag[0/1]\)
为了让我以后快速理解，先详细说明一下 \(tag[0/1]\) 的定义，考虑父节点 \(x\) 和子节点 \(son\)，且 \(son\) 刚刚经过了 pushdown 于是所有状态都已是最新，且接下来的对 \(son\) 的操作都暂存在 \(x\) 的 \(tag\) 里——这里的 \(tag\) 可以想成 \(01\) 序列（而上面说的 \(curtag, tag[0/1]\) 都是这个序列的某个信息），每次向序列尾加入一个 \(1/0\)，表示经过这个操作后，得到的 \(son\) 和原本（刚刚经过 pushdown 后）相比，是/否有翻转。
比如先加了一个翻转操作，那么 \(tag = 1\)
然后加了一个不操作的操作，那么 \(tag = 11\)
然后又加了一个翻转操作，那么 \(tag = 110\)
然后又加了一个翻转操作，那么 \(tag = 1101\)
此时，回到原本的变量定义，那么当前是否翻转就对应序列 \(1101\) 尾，故 \(curtag = 1\)；这个序列里相对原本是/否有翻转的次数 \(tag[1/0]\)，就有 \(tag[1] = 3, tag[0] = 1\)
pushdown
如果这时候需要下放 \(tag\)，那么 \(son\) 的 \(sum, sumh, curtag, tag[0/1]\) 怎么更新呢？
考虑 \(sumh\) 要加上几个 \(sum\) 和几个 \(len-sum\)；显然 \(sum\) 值还是上次 pushdown 后的状态，也就是 \(tag\) 序列中为对应 \(0\) 时的状态，那么有
sumh[son] += sum[son] * tag[x][0] + (len-sum[son]) * tag[x][1]
然后把 \(sum\) 更新到最新
if (curtag[x]) sum[son] = len - sum[son]
\(tag[son][0/1]\) 的更新，本质就是把 \(x\) 的 \(tag\) 序列接到 \(son\) 的 \(tag\) 序列后头，但是需要注意，若 \(curtag[son] = 0\)，即 \(son\) 的 \(tag\) 序列尾为 \(0\)，那么就直接接上去就行了；否则需要把 \(x\) 的 \(tag\) 序列取反再接上去，即
tag[son][0] += tag[x][0^curtag[son]], tag[son][1] += tag[x][1^curtag[son]]
至于 \(curtag[son]\)，原理同上，和 \(curtag[x]\) 异或一下就行了
curtag[lson] ^= curtag[x]
最后把 \(x\) 的 \(tag\) 序列清空即可
pushup
更新 \(sum\) 和 \(sumh\)
inline void pushup(int x) {
sum[x] = sum[lson] + sum[rson];
sumh[x] = sumh[lson] + sumh[rson];
}
reverse
对每个节点
当需要向下递归时，先 pushdown，将之前的信息下放；然后对于一个儿子，如果需要往下走，那就走；否则，意味着操作区间不和这个儿子有交，那就是对这个儿子执行“不操作”的操作，那就是更新一下这个儿子的历史和 sumh[son] += sum[son]，然后把儿子的 \(tag\) 序列尾复制一个接上去，即 tag[son][curtag[son]]++
当不需要向下递归，即当前区间需要整个翻转时，更新一下 \(x\) 的 sum[x] = len - sum[x] 然后 sumh[x] += sum[x]，然后向 \(x\) 的 \(tag\) 序列接一个和原本的尾不同的，即 curtag[x] ^= 1 然后 tag[x][curtag[x]]++
query
正常 pushdown 并返回 \(sumh\) 即可
struct seg {
#define lson (x<<1)
#define rson (x<<1|1)
#define mid ((l+r)>>1)
int sum[MAXN<<2], tag[MAXN<<2][2], curtag[MAXN<<2];
ll sumh[MAXN<<2];
seg() {
mem(sum, 0), mem(tag, 0), mem(curtag, 0), mem(sumh, 0);
}
inline void pushup(int x) {
sum[x] = sum[lson] + sum[rson];
sumh[x] = sumh[lson] + sumh[rson];
}
inline void pushdown(int x, int l, int r) {
// lson
sumh[lson] += 1ll * sum[lson] * tag[x][0];
sumh[lson] += 1ll * (mid-l+1-sum[lson]) * tag[x][1];
tag[lson][0] += tag[x][0^curtag[lson]], tag[lson][1] += tag[x][1^curtag[lson]];
if (curtag[x]) sum[lson] = mid-l+1 - sum[lson];
curtag[lson] ^= curtag[x];
// rson
sumh[rson] += 1ll * sum[rson] * tag[x][0];
sumh[rson] += 1ll * (r-mid-sum[rson]) * tag[x][1];
tag[rson][0] += tag[x][0^curtag[rson]], tag[rson][1] += tag[x][1^curtag[rson]];
if (curtag[x]) sum[rson] = r-mid - sum[rson];
curtag[rson] ^= curtag[x];
// x
tag[x][0] = tag[x][1] = curtag[x] = 0;
}
void rev(int x, int l, int r, int _l, int _r) {
if (l>=_l && r<=_r) {
sum[x] = r-l+1 - sum[x];
sumh[x] += sum[x];
curtag[x] ^= 1;
tag[x][curtag[x]]++;
} else {
pushdown(x, l, r);
if (mid>=_l) rev(lson, l, mid, _l, _r);
else sumh[lson] += sum[lson], tag[lson][curtag[lson]]++;
if (mid< _r) rev(rson, mid+1, r, _l, _r);
else sumh[rson] += sum[rson], tag[rson][curtag[rson]]++;
pushup(x);
}
}
ll query(int x, int l, int r, int _l, int _r) {
if (l>=_l && r<=_r) return sumh[x];
else {
pushdown(x, l, r);
ll t = 0;
if (mid>=_l) t += query(lson, l, mid, _l, _r);
if (mid< _r) t += query(rson, mid+1, r, _l, _r);
return t;
}
}
void print(int x=1, int l=1, int r=N) {
printf("[%d, %d], sum=%d, sumh=%lld, curtag=%d, tag0=%d, tag1=%d\n",
l, r, sum[x], sumh[x], curtag[x], tag[x][0], tag[x][1]);
if (l< r) print(lson, l, mid), print(rson, mid+1, r);
}
} ST;
