【笔记】自动控制原理
自控要期末考，文章合为时而著
这玩意可能挺有意思的，但最后沦为为考试而学了
说起来我为什么要学这种课？
记一些思想而已，免得以后忘光了可惜
输入 \(r(t)\)，输出 \(c(t)\)
微分方程 \(c^{(n)}+a_{n-1}c^{(n-1)}+\dots+a_0 c = b_m r^{(m)}+\dots+b_0 r\)
拉普拉斯变换到复数域，定义传递函数 \(G(s)\)
\(G(s) = \frac{b_m s^{m}+\dots+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\dots+a_0} = \frac{N(s)}{D(s)}\)
其能写成两种形式
零极点表达式：\(k\frac{(s-z_1)(s-z_2)\dots(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)\dots(s-p_m)}\)，\(z\) 零点，\(p\) 极点，\(k\) 零极点增益/根轨迹增益
时间常数形式：\(K\frac{(\tau_1 s+1)\dots(\tau_{l}^{2}s^2+2\zeta_l \tau_l s+1)}{s^v(T_1 s+1)\dots(T_{k}^{2}s^2+2\zeta_k T_k s+1)}\)，\(\tau, T\) 时间常数，\(K\) 放大系数
\(D(s)=0\) 特征方程 → 特征根/传函极点
\(G(s)\) 由于一般是有理分式形式，可以拆成若干实数或共轭复数的因式分解，从而视为一些基本环节的组成：放大、惯性、积分、振荡、一阶微分、纯微分、二阶微分、延迟
框图 典型闭环系统：
抽 象 带 师
|(F)
(E) v
(R)-->❌-->[G1]-->❌-->[G2]-->(C)
^(-) |
|(Y) |
----------[H]<----------
相关概念
参考输入 R；偏差 E；反馈 Y；扰动 F
开环传函 GH
输出对于参考输入的闭环传函 \(\Phi=\frac{C}{R}=\frac{G}{1+GH}\)（此时令 F=0）
输出对于扰动输入的闭环传函 \(\Phi_F=\frac{C}{F}=\frac{G_2}{1+GH}\)（此时令 R=0）
总输出 \(C=\Phi R+\Phi_F F\)
对于偏差：\(\Phi_E=\frac{E}{R}=\frac{1}{1+GH}, \Phi_{EF}=\frac{E}{F}=\frac{-G_2 H}{1+GH}\)
总偏差 \(E=\Phi_E R+\Phi_{EF} F\)
梅森增益公式 计算任意指定输出对于（不受其他变量影响的）输入的传函
在复域下：
输出信号变换式的极点 = 输入信号的极点 + 传函极点
对应时间响应 = 稳态分量 + 瞬/暂态分量
其中，稳态分量取决于 输入信号的极点 和 传函放大系数 K
瞬/暂态分量取决于传函极点；传函极点对应“自由运动模态”，而传函零点只影响各模态的比重从而影响曲线形状
时间响应的动态性能指标（由单位阶跃响应曲线定义）
\(t_r, t_p, \sigma_p, t_s, N\)
对 1、2 阶系统的时域分析（此处省略大量式子），将会发现：
对于一个基本环节和其对应的时域函数（\(e^{\sigma t}\) 部分），考虑其特征根/极点，其在复平面上：在左半平面且距虚轴越远，衰减速度越快；在右半平面则不会衰减反而增加；距实轴越远振荡越强/超调越大
位置相近的一对零点和极点影响效果抵消，用 bode 图大概能体会
主导极点：距虚轴距离小于其他极点的 1/5，附近无零点；从而可以近似，降低阶数
非零初始条件下，认为系统的响应分为：零输入响应 和 零初始条件下输入信号产生的响应
零输入响应 即 零输入时非零初始条件下引起的响应
平衡点 定义为 零输入时输出保持不变的点
稳定性 定义为 零输入、非零初始条件下系统输出趋于平衡点
或者直接说：零输入响应趋于零/初始条件分量趋零
稳定性充要条件 显然就是系统闭环极点都具有负实部
劳斯判据 判断稳定性
在系统稳定的前提下，考察关于误差：
误差 \(e_1=c_r(t)-c(t)\)，被控量的期望值减实际值
\(e_1\) 由于 \(c(t)\) 故含有稳态和瞬态分量
稳态误差 \(e_{1ss}(t)\)，即 \(e_1\) 中的稳态分量；
\(e_1 = e_{1ss} + e_{1st}, \lim_{t \to \infty}e_1(t)=\lim_{t \to \infty}e_{1ss}(t)\)
期望输出 \(c_r(t)\)，定义为令偏差 E=0（见上图）
此时有 \(C_r(s)=\frac{R(s)}{H(s)}\)，一般地 H 是常数，于是又有 \(c_r(t)=\frac{r(t)}{H(s)}\)
于是误差 \(e_1(t), E_1(s)\)，偏差 \(e(t), E(s)\)：
\(E_1=\frac{1}{H}E, e_1=\frac{1}{H}e\)
终值定理可以求稳态误差：
终值定理：\(\lim_{t \to \infty}e(t)=\lim_{s \to 0}sE(s)\)
于是有 \(\lim_{t \to \infty}e_{1ss}(t)=\lim_{t \to \infty}e_{1}(t)=\lim_{s \to 0}sE_1(s)\)
（且 \(E_1=\frac{1}{H}E, E=\Phi_E R+\Phi_{EF} F\)）
接下来引入传函的具体形式，考察之：
设开环传函 \(GH=\frac{KN(s)}{s^v D(s)}\)（时间常数形式）
丢入上面的式子，将会发现 \(e_{ss}(\infty)\) 是否趋零、趋于一个非零常数、为无穷和 \(v\) 和输入阶数有关
称 \(v\) 为系统的型别，v=0, 1,... → 0型、1型...
结论：型别越大，可以“跟踪”上、即稳态误差为零的输入的最大阶数就越高
在系统稳定的前提下：
频率特性，定义为输入为正弦信号 \(sin(\omega t)\) 时，输出信号的稳态分量和输入的关系
设传函 \(G\)，计算得频率特性就等于
\(G(j\omega)=|G(j\omega)|e^{j\angle G(j\omega)}\)，这是一个关于 \(\omega\) 的复变函数
幅频特性 \(\frac{C}{R}=|G(j\omega)|\)，相频特性 \(\theta=\angle G(j\omega)\)
我们大概可以理解成其表示的是系统对信号频率 \(\omega\) 部分的幅值、相位的加权
频率特性的图像：
Nyquist 图：复平面上极坐标图像，可以通过实验测出来，进而用于 Nyquist 稳定判据（绘制开环传函的图像，判断闭环传函的稳定性）
Bode 图：分别画出幅频、相频关于 \(\omega\) 的直角坐标图像；可以很明显地看出关于 \(\omega\) 对幅值和相位的加权；另外根据图像的定义（取对数），若干基本环节在 Bode 图上只需做相加即可，所以基本环节的 Bode 图是值得注意的，而且一对对基本环节还挺有对称美感的
控制系统的相对稳定性，刻画稳定到什么程度
\(\omega_c, \omega_g, \gamma, K_g\)
以及闭环频率特征：\(\omega_r, \omega_b, M_r\)
和之前提到的时间响应的动态性能指标之间存在解析式关系以及一些经验公式
利用开环 Bode 图可以刻画一些系统设计要求，比如中频段（影响系统裕度）以 -20db/dec 斜率通过 \(\omega_c\)，高频段斜率较负从而衰减较快
PID 控制器，比例 P，积分 I，微分 D，用于调节系统
\(m(t) = K_P e(t)+\frac{K_P}{T_I}\int e(t)dt+K_P \tau \frac{de(t)}{dt}\)
得到 \(G_c(s)=\frac{M}{E}=K_P(1+\frac{1}{T_I s}+\tau s) = \frac{K_P(T_I \tau s^2+T_I s+1)}{T_I s}\)，发现提升了型别，且可以利用增大 \(K_P\) 加快瞬态分量的衰减
超前补偿
补偿框图不画了，得到：
\(G_c(s)=\frac{aTs+1}{Ts+1}=\frac{\frac{1}{\omega_1}s}{\frac{1}{\omega_2}s}\)
\((a>1, \omega_1<\omega_2)\)
在 Bode 图上有：在 \([\omega_1, \omega_2]\) 处令幅频曲线斜率增加 20db/dec，令相频曲线加上一个小山丘，一些性质公式略
用于使满足利用开环 Bode 图刻画的一些系统设计要求，增加 \(\omega_c, \gamma\)
现代控制理论基础
对于 n 阶系统，确定 \(n\) 维状态变量 \(\vec{x}\)，对于输入 \(\vec{u}\)，输出 \(\vec{y}\)
状态空间表达式：
\(\dot{\vec{x}}=A\vec{x}+B\vec{u}\)
\(\vec{y}=C\vec{x}+D\vec{u}\)
然后就是一堆结论，可以直接由微分方程或传函极点建立状态空间表达式
状态空间表达式也能反过来求传递函数
也可以利用状态空间表达式和一个初始值求状态方程的解 \(\vec{x}\)，从而求 \(\vec{y}\)
根据状态空间表达式，定义能控性判据和能观性判据
在系统能控的条件下，利用状态空间表达式确定配置极点的参数
