【笔记】博弈论

UPD：你的 SG tmd白学了
当一个局面的下一步能形成若干局面时，这个“若干局面”也是一种局面，其 SG 值等于这些局面的 SG 的异或和；同时，若一个局面能有多种方式形成若干种状态（若干种局面），那么这个局面的 SG 就是这些局面的异或和
例题 LOJ1199

公平组合游戏(ICG)

对于 ICG ，我们有如下定义：

• 两名选手
• 两名选手轮流行动，每一次行动可以在有限合法操作集合中选择一个
• 游戏的任何一种可能的局面(position)，合法操作集合只取决于这个局面本身，不取决于轮到哪名选手操作、以前的任何操作、概率或者其它因素；局面的改变称为“移动”(move)
• 如果轮到某名选手移动，且这个局面的合法的移动集合为空（也就是说此时无法进行移动），则这名选手负

对于第三条，我们有更进一步的定义Position，我们将Position分为两类：

• P-position：在当前的局面下，先手必败
• N-position：在当前的局面下，先手必胜

它们有如下性质：

• 合法操作集合为空的局面是P-position
• 可以移动到P-position的局面是N-position
• 所有移动都只能到N-position的局面是P-position

对于一个 ICG ，游戏的进行可以看作在一个由局面抽象成节点的有向图上轮流行走。

Nim 游戏

Alice 和 Bob 放置了 N 堆不同的石子，编号 1..N ，第 i 堆中有 Ai 个石子。
每一次行动， Alice 和 Bob 可以选择从一堆石子中取出任意数量的石子。至少取 1 颗，至多取出这一堆剩下的所有石子。
Alice 和 Bob 轮流行动，取走最后一个石子的人获得胜利。

是个 ICG 。显然每个局面都是必胜/必败中的一种。
除了套模板解决外，有一个结论：

对于一个局面，当且仅当 A1 xor A2 xor … xor AN = 0 时，该局面为P局面。

证明：

设 A1 xor A2 xor … xor AN = k
我们定义 k = 0 为必败， k != 0 为必胜，要证明其实际与 N/P-position 同构
当 Ai 全为 0 ， k = 0 ，必败
当 Ai 不全为 0 且 k != 0 ，必存在一种方法，操作后使 k = 0 ：设 k 二进制最高位 1 在第 j 位，找到一个 Ai 满足第 j 位为 1 ，令 Ai 变为 Ai xor k（显然 Ai xor k < Ai）
当 Ai 不全为 0 且 k = 0 ，由异或性质，显然必不存在一种方法，操作后仍使 k = 0

SG 函数

考虑一个游戏：在一个有向无环图上交替移动一枚棋子。
显然这是个 ICG （对于大多 ICG ，只要无环/不出现循环局面，都可以建这么个 DAG） 。
在这个图上定义 SG(Sprague-Garundy) 函数：

mex 运算表示最小的不属于这个集合的非负整数。
图的每个顶点的 SG 函数 sg 如下：sg(x) = mex{ sg(y) | y是x的后继 } 。

从是否为零的角度来看，显然顶点 x 所代表的 postion 是 P-position 当且仅当 sg(x) = 0 。
（我们用 SG 函数来考察 Nim 游戏，发现每个石堆（子游戏）对应的 SG 值即为石子个数，这说明...）

改一下游戏，如果有多个棋子，即有多个局面且可选择其中一个操作（或者说原游戏由多个互不干扰的子游戏组成），那么有结论：

原游戏的 SG 值是所有子游戏的 SG 值的异或和。

这个原游戏的 SG 值的意义，即其是 P-position 当且仅当 sg(x) = 0 。
证明：

如果当前局面，所有 sg 函数的值都是零，认为先手必败。对其分类讨论一下。如果当前局面上的所有棋子都不能走了，显然它们的 sg 函数值都是零，那么先手必败。如果还有棋子能走，我们可以选一个棋子走一步，那么这个棋子的 sg 函数值就会变成非零。非零说明什么，说明当前棋子所在结点的孩子结点一定有一个 sg 函数值为零，那对手只要将棋走到那个结点就行了。然后局面就又变成了原来的。
前面那个其实相当于终止局面，如上进行必然会到达都无法操作的局面。
那普通局面就相当于有 sg 函数的值不为零。还是分类讨论。如果现在对手走，此时各棋子 sg 值异或和为零（而你有办法让对手必败），他会选一个棋子，然后放到它的孩子结点上。这个棋子的 sg 值有可能增加，也有可能减少。只要 sg 值增加，你就把它还原成原来的值（根据 sg 函数的定义显然），那么你能保证 sg 函数值只能下降。那这不是一个 nim 游戏吗？根据 nim 游戏里面的证明，你一定可以找到一个棋子，移动到一个 sg 更小的特定子节点后，各棋子异或和还是零。最终对手就会被逼迫到终止局面上，然后就输了。反之，对手一定能让你输。

由上看来，Nim 游戏像是 SG 的特例，SG 也像是用 mex 处理得到的 Nim 游戏。而不少 ICG 都能用 SG 函数做。

Anti-Nim

如果有 N 堆石子，最后取完者判负呢？
考虑在 Nim 中，最后关头只剩一堆石子了，我们把它全部取走就能赢。条件是异或和不为 0 。
那么在 Anti-Nim 中，我们同样的操作，直到最后只剩一堆石子，取剩下一个就能让对手输。
如果这堆石子就只有一个呢，那怎么玩？我们就得做点调整...
策略：

当至少有两堆的石子数大于 1 时，拿法跟常规的 Nim 一样。当对手走完某一步后只剩一堆石子数大于 1 时，将那一堆石子变成 0 或者 1 ，从而保证有奇数个石子数为 1 的堆。

这个策略需要补充一点：局面肯定会快进到"只剩一堆石子数大于 1 "，这时凭什么轮到你？因为根据 Nim 的走法，你走完后场上异或和必为 0 ，所以这个局面只能是对手留下的。
那么我们就得出了判断方法，先手必胜当且仅当：

a. SG 值不为 0 （即所有堆的石子数异或和不为 0）
b. SG 值为 0 ，且所有堆的石子数均为 1 （即有偶数个堆）

我们还要稍微补充的是为什么 SG 为 0 时只能是 (b) 情况还能赢。
SG 为 0 且有堆的石子数大于 1 ，那至少有两堆大于 1 ，那先手操作完，SG 值变成非 0 且至少有一堆大于 1 ，这对于对手来说是必胜状态。

阶梯博弈

题目：
luogup2575 记搜 + 状压
[SDOI2009]E&D 打表 + 大眼观察法（

引链:
A_Comme_Amour:[学习笔记] （博弈论）Nim游戏和SG函数