数论函数

数论函数

常见数论函数

1. \(\epsilon(n)=[n=1]\)
2. \(I(n)=1...\)
3. \(id(n)=n\)
4. \(id^k(n)=n^k\)
5. \(\mu\)莫比乌斯函数
6. \(\phi\)欧拉函数
7. \(\tau\)约数个数
8. \(\sigma\)约数和

欧拉函数

\(\phi(n)\)表示的是小于等于n和n互质的数的个数，是积性函数

\(\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}\)

\(n=\sum_{d|n}\phi(d)\)

莫比乌斯函数

\[\mu(n)= \begin{cases} 1&n=1\\ 0&n\text{ 含有平方因子}\\ (-1)^k&k\text{ 为 }n\text{ 的本质不同质因子个数}\\ \end{cases} \]

\[\sum_{d\mid n}\mu(d)=\epsilon(n) \]

常见关系

• \(\mu*I=\epsilon\)
• \(\phi*I=id\)
• \(\mu*id=\phi\)
• \(I*id=\sigma\)
• \(I*I=\tau\)

杜教筛常用

• \(f(n)=n^k\mu(n),f*id^k=\epsilon\)
• \(f(n)=n^k\phi(n),f*id^k=id^{k+1}\)
• \(f(n)=\sum_{d|n}d\mu(d),f*\phi=\epsilon\)

证明：

\[\begin{aligned} (f*\phi)(n)&=\sum_{i|n}\sum_{d|i}d\mu(d)\phi(\frac ni)\\ &=\sum_{d|n}d\mu(d)\sum_{i|\frac nd}\phi(i)\\ &=\sum_{d|n}d\mu(d)\frac nd\\ &=\sum_{d|n}\mu(d)\\ &=\epsilon(n) \end{aligned} \]

tricks

1

已知 \(S\) 为积性函数，求

\[\sum_i^n\sum_j^nS(ij) \]

我们考虑枚举一个 \(gcd(i,j)=g\)

\[\sum_g^n\sum_i^{\lfloor\frac ng\rfloor}\sum_j^{\lfloor\frac ng\rfloor}S(ijg^2)[\gcd(i,j)==1] \]

我们令 \(H(i)=\frac{S(ig^2)}{S(g^2)}\) ，那么原式为

\[\sum_g^nS(g^2)\sum_i^{\lfloor\frac ng\rfloor}\sum_j^{\lfloor\frac ng\rfloor}h(ij)[\gcd(i,j)==1] \]

可以证明 \(H\) 为积性函数，后面部分可以简单的求出

证明如下：

令 \(\gcd(a,b)=1,g^2=x_1x_2x_3\)，

使得 \(\gcd(a,x_2)=\gcd(a,x_3)=\gcd(a,x_1)=\gcd(a,x_2)=\gcd(x_1,x_2,x_3)=1\)

那么

\[\begin{aligned} H(a)H(b) &=\frac{S(ag^2)S(bg^2)}{S^2(g^2)} \\ &=\frac{S(ax_1x_2x_3)S(bx_1x_2x_3)}{S^2(g^2)}\\ &=\frac{S(ax_1)S(x_2)S(x_3)S(bx_3)S(x_1)S(x_2)}{S^2(g^2)}\\ &=\frac{S(ax_1)S(bx_3)S(x_2)}{S(g^2)}\\ &=\frac{S(abg^2)}{S(g^2)}\\ &=H(ab) \end{aligned} \]

证毕

2

给定序列 \(A,B,C\)，求

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nA(i)B(j)C(gcd(i,j)) \]

先枚举gcd

\[\sum_{g=1}C(g)\sum_{i=1}^{n/g}\sum_{j=1}^{n/g}A(ig)B(jb)[gcd(i,j)==1]\\ \sum_{g=1}C(g)\sum_{i=1}^{n/g}\sum_{j=1}^{n/g}A(ig)B(jb)\sum_{t|i,t|j}\mu(t)\\ \sum_{t=1}^n\sum_{g=1}^{n/t}C(g)\mu(t)\sum_{i=1}^{n/tg}\sum_{j=1}^{n/tg}A(ig)B(jb)\\ \]