代表元学习笔记

代表元

概念

网络上没有明确的定义，只能在少量博客中找到一些信息

大概是处理一类会算重的统计问题，在每个算重的集合中选出一个代表来统计以去重，就是代表元

例子

代表元只能说是一种思想，用于问题的转化与化简

森林连通块数量

可以用点数-边数快速计算

但有些时候不好维护，于是我们考虑好dp，好维护的做法，

钦定一个连通块中深度最小的点为代表元，统计代表元数量

P1903 [国家集训队] 数颜色 / 维护队列

对于本题，其实是带修莫队的板题

所谓去重，就是区间内的颜色若有多个，我们只统计一个，那么就钦定第一个为代表元

然后发现想统计区间代表元个数，就是统计\(pre_i<l\)的个数，转化成区间小于k的个数，即可主席树

然后发现单点修改可以维护n个set，就可做到修改pre

[AGC013D] Piling Up

首先想到枚举白点个数，设\(f_{i,j}\)表示第i次操作，剩下j个白点，然后分4种转移

发现\(n^3\)???

不对，枚举白点个数相当于把\(f_{0,j}=1\)，然后就是\(nm\)

能过吗？

不能，我们发现算重了很多，因为不同的初始白点个数可能出现相同结果，于是乎算重了

我们考虑把一种结果对应dp数组的j的变化，看成一条折线

于是发现平移后能重合的折线即为同种，于是代表元就是最下面那条（即接触到j=0）

画图可证明是不重不漏的，然后dp数组就加一维表示是否接触到0即可

[CF1548E]Gregor and the Two Painters

给定两个长度分别为 \(n,m\) 的序列 \(a,b\) 和一个参数 \(x\)

生成一个 \(n\times m\) 的黑白矩阵，\((i,j)\) 为黑当且仅当 \(a_i+b_j\leq x\)

求矩阵内黑色四连通块数

考虑把一个联通块的贡献记在一个代表元上，我们令一个联通块中以\(a_i+b_j\)为第一关键字，i为第二关键字，j为第三关键字的最小点对(i,j)为代表元

考虑一个点为代表元，当且仅当它无法通过黑点走到一个\(a_i+b_j\)比它大的点，或左上角中有和它一样大点

设pre_a为i左边第一个a值不大于它的位置，suf_a为i右边第一个a值小于它的位置，pre_a和suf_b同理。

因为若存在一个使(i,j)不是代表元的点，那么一定要满足\(a_{i’}<a_i\)或\(b_{j'}<b_j\)或\(a_{i’}\le a_i\and i'<i\)或\(b_{j'}\le b_j\and j'\le j\)

即是满足(i,j)不能达到(pre_a,j)或(suf_a,j)或(i,pre_b)或(i,suf_b)，也就是它们路径上存在一个白点

我们令\(mx(l,r)=MAX_{i-l}^ra_i,ma_i=min(mx(pre\_a_i,i),mx(i,suf\_a_i))\)，mb同理

那么将会满足以下偏序关系：

• \(a_i+b_j\le x\)
• \(a_i+mb_j>x\)
• \(ma_i+b_j>x\)

这显然是一个二维偏序问题，以\((b_j,mb_j)\)为点，进行二维数点即可