高等数学A2 2020/6/2 第二十八次课

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格林公式及其应用

格林定理：

设闭区域 \(D\) 由分段光滑的曲线 \(L\) 围成，函数 \(P(x,y)\) 及 \(Q(x,y)\) 在 \(D\) 上具有一个一阶连续偏导数，

则有 \(\iint\limits_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\int\limits_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\)

其中 \(L\) 是 \(D\) 取正向（左手边为浅蓝色区域）的边界曲线，以上公式称为格林公式

面积公式的换用

直角形式

\(\int\limits_{L}Pdx+Qdy=\iint\limits_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy\)

令 \(P=-\frac{y}{2}\;,\;\;\;Q=\frac{x}{2}\;\;\to\;\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1\)

\(A=\iint\limits_{D}dxdy=\int\limits_{L}-\frac{y}{2}dx+\frac{x}{2}dy\)

于是，面积公式 \(A=\frac{1}{2}\int\limits_{L}xdy-ydx\)

参数形式

\(x=x(t)\;,\;\;\;y=y(t)\;\;(t:\alpha\to\beta)\)

面积 \(A=\frac{1}{2}\int^{\beta}_{\alpha}[x(t)y'(t)-y(t)x'(t)]dt\)