高等数学A2 2020/5/28 第二十七次课
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对坐标的曲线积分
定义
一般形式
对坐标 \(x\) 的曲线积分：\(\int\limits_{L}P(x,y)dx=\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}P(\xi _i,\eta_i)\Delta x_i\)
对坐标 \(y\) 的曲线积分：\(\int\limits_{L}Q(x,y)dx=\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}Q(\xi _i,\eta_i)\Delta y_i\)
向量形式
\(A(x,y)=P(x,y)\vec i+Q(x,y)\vec j=(P,Q)\;\;\;\;dr=(dx,dy)\)
\(\int\limits_{L}Pdx+Qdy=\int\limits_{L}(P,Q)·(dx,dy)=\int\limits_{L}A·dr\)
可以理解为向量场 \(A=(P,Q)\) 的曲线积分
物理意义
力对物体所作的功
\(F(x,y)=P(x,y)\vec i + Q(x,y)\vec j\)
\(W=\int\limits_{L}Pdx+Qdy=\int\limits_{L}F·dr\)
有向曲线：\(\int\limits_{-L}Pdx+Qdy=-\int\limits_{L}Pdx+Qdy\)（正负功）
两类曲线积分之间的关系
\(\int\limits_{L}Pdx+Qdy=\int (Pcos\alpha +Qcos\beta )ds\)
计算方法
\(L\) 由参数方程给出
\(L:\;\;x=x(t)\;,\;\;\;y=y(t)\;\;(t:\alpha \to \beta)\)
则：\(\int\limits_{L}P(x,y)dx=\int^{\beta}_{\alpha}P[x(t),y(t)]x'(t)dt\)
\(\int\limits_{L}Q(x,y)dx=\int^{\beta}_{\alpha}Q[x(t),y(t)]y'(t)dt\)
\(\int\limits_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int^{\beta}_{\alpha}\{P[x(t),y(t)]x'(t)+Q[x(t),y(t)]y'(t)\}dt\)
向量形式
设 \(A=A(r(t))\;\;L:\;r=r(t)\;\;(t:\alpha\to\beta)\)
则 \(\int\limits_{L}A·dr=\int^{\beta}_{\alpha}A(r(t))·r'(t)dt\)
