高等数学A2 2020/5/7 第二十一次课

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二重积分的计算法（下）

利用极坐标计算二重积分

直角坐标和极坐标的转换

\(\begin{cases}x=r·cos\theta\\y=r·sin\theta\end{cases}\;\;\;\;tan\beta =\frac{y}{x}\)

\(r^2=x^2+y^2\;\;\;\;r=\sqrt{x^2+y^2}\)

直角坐标	极坐标
\(x=a\)	\(r=a·sec\theta\)
\(y=a\)	\(r=a·csc\theta\)
\(y=tanx\)	\(\theta=\alpha\)
\(x^2+y^2=a^2\)	\(r=a\)
\((x-a)^2+y^2=a^2\)	\(r=2a·cos\theta\)
\(x^2+(y-a)^2=a^2\)	\(r=2a·sin\theta\)

二重积分

现有用极坐标表示的区域 \(D\)：

\(D=\{(r,\theta )|r_1(\theta )\le r\le r_2(\theta ),\alpha \le\theta\le\beta\}\)

\(d\sigma =r\Delta r\Delta \theta=rdrd\theta\)（极坐标下的面积元素）

\(\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy=\iint\limits_{D}f(rcos\theta ,rsin\theta )rdrd\theta\)（先积 \(r\) 后积 \(d\)）

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,=\int^{\beta}_{\alpha}d\theta \int^{r_2(\theta)}_{r_1(\theta)}f(rcos\theta ,rsin\theta )rdr\)

例子：

\(I=\int^{+∞}_{0}e^{-x^2}dx\)

\(I^2=\int^{+∞}_{0}e^{-x^2}dx·\int^{+∞}{0}e^{-x^2}dx=\int^{+∞}_{0}e^{-x^2}dx·\int^{+∞}{0}e^{-y^2}dy\)

\(\;\;\;\;\,=\int^{+∞}_{0}\int^{+∞}_{0}e^{-x^2-y^2}dxdy=\int^{\frac{\pi }{2}}_{0}d\theta \int^{+∞}_{0}e^{-r^2}rdr=\frac{\pi }{2}·(-\frac{1}{2})[e^{-r^2}]^{+∞}_0\)

\(\;\;\;\;\,=\frac{\pi }{4}\;\;\Longrightarrow \;\;I=\sqrt{\frac{\pi }{4}}=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\)

利用对称性计算二重积分

涉及函数的奇偶性、区域的对称性，具体问题具体分析

情形	计算方法
\(D=D_1+D_2\) \(D_1\) 与 \(D_2\) 关于 \(x\) 轴对称	\((1)\;\iint\limits_{D}f(x,y)d\delta=\iint\limits_{D}(x,-y)d\delta\) \((2)\;\iint\limits_{D}f(x,y)d\delta=\begin{cases}2\iint\limits_{D_1}f(x,y)d\delta\;,\;\;\;关于\;y\;的偶函数\\0\;,\;\;\;关于\;y\;的奇函数\end{cases}\)
\(D=D_1+D_2\) \(D_1\) 与 \(D_2\) 关于 \(y\) 轴对称	\((1)\;\iint\limits_{D}f(x,y)d\delta=\iint\limits_{D}(-x,y)d\delta\) \((2)\;\iint\limits_{D}f(x,y)d\delta=\begin{cases}2\iint\limits_{D_1}f(x,y)d\delta\;,\;\;\;关于\;x\;的偶函数\\0\;,\;\;\;关于\;y\;的奇函数\end{cases}\)
\(D=D_1+D_2\) \(D_1\) 与 \(D_2\) 关于原点对称	\((1)\;\iint\limits_{D}f(x,y)d\delta=\iint\limits_{D}(-x,-y)d\delta\) \((2)\;\iint\limits_{D}f(x,y)d\delta=\begin{cases}2\iint\limits_{D_1}f(x,y)d\delta\;,\;\;\;关于\;x,y\;的偶函数\\0\;,\;\;\;关于\;x,y\;的奇函数\end{cases}\)
\(D=D_1+D_2\) \(D_1\) 与 \(D_2\) 关于 \(y=x\) 对称	\((1)\;\iint\limits_{D}f(x,y)d\delta=\iint\limits_{D}(y,x)d\delta\;\) \(D_1\;是对称轴的一侧区域\) \((2)\;且\;f(x,y)\;关于\;x\;轴和\;y\;轴对称\) \(\Longrightarrow \iint\limits_{D}f(x,y)d\delta=2\iint\limits_{D_1}f(x,y)dxdy\)