高等数学A2 2020/4/30 第二十次课
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二重积分的概念与性质
定义
二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。
几何意义
定义图形的直径 \(\lambda\) 为一个图形最远的两点的距离
曲顶柱体的体积 \(V=\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i = 1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_i\)
物理意义
平面薄板的质量 \(M=\iint\limits_{D}\sum\limits_{i=1}^n\rho (\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_i\)（ \(\rho\) 为面密度）
可积性
在有界闭区域上连续或分片连续的函数可积
直角系中的二重积分：
\(\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy=\iint\limits_{D}f(x,y)\Delta x\Delta y\)
二重积分的性质：
\((1)\;\;\iint\limits_{D}k(x,y)d\sigma=k\iint\limits_{D}d\sigma\)
\((2)\;\;\iint\limits_{D}(kf\pm lg)d\sigma =k\iint\limits_{D}df\sigma\pm l\iint\limits_{D}gd\sigma\)（线性性质）
\((3)\;\;D=D_1∪D_2\;,\;\;\;\iint\limits_{D}=\iint\limits_{D_1}fd\sigma+\iint\limits_{D_2}fd\sigma\)（区域可加性）
\((4)\;\;\iint\limits_{D}1d\sigma=\iint\limits_{D}d\sigma=Area_D\;,\;\;\;\iint\limits_{D}0d\sigma =0\)
\((5)\;\;f(x,y)\ge g(x,y)\;,\;\;(x,y)∈D\;\Longrightarrow\;\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma\ge\iint\limits_{D}g(x,y)d\sigma\)（介值定理）
\((6)\;\;m\le f(x,y)\le M\;,\;\;(x,y)∈R\;\Longrightarrow\;m\sigma\le\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma\le M\sigma\)（估值定理）
\((7)\;\;\) 设 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上连续，则 \(∃(\xi,\eta)∈D\)，使 \(\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)\sigma\)
二重积分的计算法（上）
利用直角坐标计算二重积分
X型区域
\(D=\{(x,y)|a\le x\le b,\varphi_1(x)\le y\le \varphi_2(x)\}\)
判定标准：范围内任意竖直线都与区域有且只有两个交点
首先将 \(x\) 视为常数，对 \(y\) 偏积分：\(A(x)=\int^{\varphi_2(x)}_{\varphi_1(x)}f(x,y)dy\)
则二次积分\(\;\;V=\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy=\int_a^bA(x)dx\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,=\int_a^b[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy]dx=\int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy\)
Y型区域
\(D=\{(x,y)|c\le y\le d,\varphi_1(y)\le x\le \varphi_2(y)\}\)
判定标准：范围内任意水平线都与区域有且只有两个交点
首先将 \(y\) 视为常数，对 \(x\) 偏积分：\(A(y)=\int^{\varphi_2(y)}_{\varphi_1(y)}f(x,y)dx\)
则二次积分\(\;\;V=\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy=\int_a^bA(y)dy\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,=\int_c^d[\int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)}f(x,y)dx]dy=\int_c^ddy\int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)}f(x,y)dx\)
（均为 \(Fubini\) 定理的应用）
矩形区域
若 \(D\) 为严格矩形区域，且 \(f(x,y)=h(x)g(y)\)
则 \(\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy=\int_a^bh(x)\int_c^dg(y)dy\)
改变积分次序
将已知二次积分的积分次序改变成另一积分次序
步骤
\((1)\) 根据所给的二次积分上、下限画出积分区域 \(D\) 的图形
\((2)\) 将 \(D\) 视为另一类型的区域，重新定限
