高等数学A2 2020/4/23 第十八次课
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方向导数和梯度
方向导数
定义
在函数定义域的内点，对某一方向求导得到的导数，一般为二元函数和三元函数的方向导数。
即，一个函数沿指定方向的变化率。
实例
函数 \(z=f(x,y)\) 在点 \(M_0(x_0,y_0)\) 沿方向 \(\vec l=\{cos\alpha ,cos\beta\}\) 的方向导数
\(\frac{\partial f}{\partial l}=\lim\limits_{\rho\to 0}\frac{f(x_0+\rho cos\alpha ,y_0+\rho cos\beta)-f(x_0,y_0)}{\rho}\;\;\)（单向函数）
特例
若在 \(M_0(x_0,y_0)\) 上有 \(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\) 存在，则：
\(\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial l}\) 其中 \(\vec l=\{1,0\}=\vec i\)
\(\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial l}\) 其中 \(\vec l=\{0,1\}=\vec j\)
定理与公式
如果函数 \(z=f(x,y)\) 在带你 \(P(x,y)\) 处可微分，则函数在该点沿任一方向 \(l\) 的方向导数都存在，并且：
\(\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha +\frac{\partial f}{\partial y}cos\beta\;\;\;\;\;\;\vec l =\{cos\alpha ,cos\beta\}\)
（利用微分的性质来证明，略）
简而言之，多元函数可微 \(\Longrightarrow\) 所有方向导数存在
\(\frac{\partial f}{\partial l}=\{\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\}·\{cos\alpha ,cos\beta \}=\triangledown f·\vec{l^0}=\triangledown f·\frac{\vec l}{|\vec l|}=Proj^{\;\triangledown f}_{\;\;\vec l}\)
梯度
定义：
对于二元函数，设函数 \(f(x,y)\) 在平面区域 \(D\) 内具有一阶连续偏导，
则对于每一点 \(P_0(x_0,y_0)∈D\)，定义向量 \(f_x(x_0,y_0)\vec i +f_y(x_0,y_0)\vec j\)
成为函数 \(f(x,y)\) 在点 \(P_0(x_0,y_0)\) 处的梯度，记作 \(grad\;f(x_0,y_0)\) 或 \(\triangledown (x_0,y_0)\)
简而言之，一个函数对于其自变量分别求偏导数，这些偏导数所组成的向量就是函数的梯度。
几何意义
根据投影公式， \(\frac{\partial f}{\partial l}=|grad\;f|·cos\beta\)（\(\beta\) 为 \(\triangledown f\) 与 \(\vec l\) 的夹角）
当 \(\beta=0\) 时，\(\frac{\partial f}{\partial l}_{max}=|\triangledown f|\)
因此向量 \(\{\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\}\) 是使函数在一点的方向导数到最大值的方向（即梯度方向）
以二元函数为例，其所有的梯度向量 \(\triangledown f=\{f_x,f_y,f_z\}\) 组成在任一点都得垂直于函数的等值面，
并且从函数值较小的等值面指向函数值较大的等值面，构成了最速增曲面/最速降曲面
（在一元函数中为最速增曲线/最速降曲线）
梯度的运算规则（类比导数）
\(\triangledown C=0\;\;\;\;\triangledown (u±v)=\triangledown u ± \triangledown v\;\;\;\;\triangledown (ku)=k\triangledown u\)
\(\triangledown (uv)=v\triangledown u+u \triangledown v\;\;\;\;\triangledown(f(u))=f'(u)\triangledown u\;\;\;\;\triangledown (\frac{u}{v}) = \frac{v\triangledown u-u\triangledown v}{v^2}\)
