高等数学A2 2020/4/21 第十七次课

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多元函数微分学的几何应用

基本概念

对于三维曲线上的某一点（参数方程形式）：

位向量（位矢）\((Position\;Vector)\)：\(r=r(t)=\{x(t),y(t),z(t)\}\)

切线向量（切矢）\((Tangent\;Vector)\)：\(r'(t)=\{x'(t),y'(t),z'(t)\}\)

切线方程和法平面方程（曲线）

切线方程：\(\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)}\)

法平面方程：\(x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0\)

显然切线 \(⊥\) 法平面

现引入曲线 \(\digamma=\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}\Longrightarrow\begin{cases}y=y(x)\\z=z(x)\end{cases}\Longrightarrow\begin{cases}x=x\\y=y(x)\\z=z(x)\end{cases}\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\)两曲线的交线\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\)两柱面的交线\(\;\;\;\;\;\;\)以 \(x\) 为参数的参数方程

曲线在某点的切向量 \(\vec T=\{\frac{dx}{dx},\frac{dy}{dx},\frac{dz}{dx}\}=\{1,\frac{dy}{dx},\frac{dz}{dx}\}\)

方法一：

根据克拉默法则得：\(\frac{dy}{dx}=-\frac{{\begin{vmatrix}F_x&F_z\\G_x&G_z\end{vmatrix}}}{{\begin{vmatrix}F_y&F_z\\G_y&G_z\end{vmatrix}}}\;,\;\;\;\frac{dz}{dx}=-\frac{{\begin{vmatrix}F_y&F_x\\G_y&G_x\end{vmatrix}}}{{\begin{vmatrix}F_y&F_z\\G_y&G_z\end{vmatrix}}}\)

整理后得 \(\vec T=\{{\begin{vmatrix}F_y&F_z\\G_y&G_z\end{vmatrix}:\begin{vmatrix}F_z&F_x\\G_z&G_x\end{vmatrix}:\begin{vmatrix}F_x&F_y\\G_x&G_y\end{vmatrix}}\}\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,=\{F_x,F_y,F_z\} \times\{G_x,G_y,G_z\}=\triangledown F\times\triangledown G\)

方法二：

直接利用隐函数求导法则对 \(x\) 求偏导，再代回 \(\vec{T}\)

最后把结果代入切线方程和法平面方程的公式即可

法线方程和切平面方程（曲面）

\(F_x(M_0)·x'(t_0)+F_y(M_0)·y'(t_0)+F_z(M_0)·z'(t_0)=0\)

\(\vec n=\{F_x(M_0),F_y(M_0),F_z(M_0)\}=\triangledown F(M_0)\)

与曲面 \(\sum\) 上任意一条经过 \(M_0\) 的曲线在 \(M_0\) 上有切线，

则这些切线的构成的平面称为切平面，\(\vec n\) 是该平面的法向量

切平面方程：\(F_x(M_0)(x-x_0)+F_y(M_0)(y-y_0)+F_z(M_0)(z-z_0)=0\)

法线方程：\(\frac{x-x_0}{F_x(M_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(M_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(M_0)}\)

曲面的切平面的简便求法

切点 \((x_0,y_0,z_0)\)，含变量项转换规则如下：

平方项：\(x^2\to x_0x\;,\;\;\;y^2\to y_0y\)

交叉项：\(2xy\to x_0y+xy_0\)

一次项：\(2x\to x+x_0\)