高等数学A2 2020/4/16 第十六次课

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隐函数的求导法则

基本方法：公式法、直接求导法、微分法

单方程的情形

前提：隐函数存在定理

二元方程

隐函数存在前提：\(F(x_0,y_0)=0\;\;\;\;F_y(x_0,y_0)\ne 0\)

\(F(x,y)=0\;\;\Longrightarrow\;\; y=y(x)\) 为一元隐函数

则 \(\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}\)

三元方程

隐函数存在前提：\(F(x_0,y_0,z_0)=0\;\;\;\;F_y(x_0,y_0,z_0)\ne 0\)

（几何意义：曲面 \(F_z(x_0,y_0,z_0)=0\) 在 \((x_0,y_0,z_0)\) 处的切平面不平行于 \(z\) 轴）

\(F(x,y,z)=0\;\;\Longrightarrow\;\; z=z(x,y)\) 为二元隐函数

则 \(\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x(x_0,y_0,z_0)}{F_z(x_0,y_0,z_0)}\;,\;\;\;\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y(x_0,y_0,z_0)}{F_z(x_0,y_0,z_0)}\)

方程组的情形

克拉默法则

\(\begin{cases}ax+by=\alpha\\cx+dy=\beta\end{cases}\;\;\) 若 \(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\ne 0\)，

\(D_i\) 表示把上行列式把第 \(i\) 列置换为右边的常量列构成的矩阵

则 \(x=\frac{\begin{vmatrix}\alpha &b\\\beta&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=D_1 \;,\;\;\;y=\frac{\begin{vmatrix}a&\alpha \\c&\beta \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=D_2\)

多元函数方程组

\(\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\G(x,y,u,v)=0\end{cases}\;\Longrightarrow\;\begin{cases}u=u(x,y)\\v=v(x,y)\end{cases}\)

亦可表示为：\(\begin{cases}F(x,y,u(x,y),v(x,y))=0\\G(x,y,u(x,y),v(x,y))=0\end{cases}\)

对 \(x\) 求偏导数后：\(\begin{cases}F_u·\frac{\partial u}{\partial x}+F_v·\frac{\partial v}{\partial x}=-F_x\\G_u·\frac{\partial u}{\partial x}+G_v·\frac{\partial v}{\partial x}=-G_x\end{cases}\)

根据克拉默法则：

\(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{{\begin{vmatrix}-F_x&F_v\\-G_x&G_v\end{vmatrix}}}{{\begin{vmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{vmatrix}}}=-\frac{{\begin{vmatrix}F_x&F_v\\G_x&G_v\end{vmatrix}}}{{\begin{vmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{vmatrix}}}\;,\;\;\;\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{{\begin{vmatrix}F_u&-F_x\\G_u&-G_x\end{vmatrix}}}{{\begin{vmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{vmatrix}}}=-\frac{{\begin{vmatrix}F_u&F_x\\G_u&G_x\end{vmatrix}}}{{\begin{vmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{vmatrix}}}\)

方程组的实例

\(\begin{cases}xu-yv=0\\yu+xv=0\end{cases}\)

公式法

请参考一个方程的情形

直接法

方程两边对 \(x\) 求偏导数：\(\begin{cases}x\frac{\partial u}{\partial x}-y\frac{\partial v}{\partial x}=-u\\y\frac{\partial u}{\partial x}+x\frac{\partial v}{\partial x}=-v\end{cases}\)

\(\Longrightarrow\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\begin{vmatrix}-u&-y\\-v&x\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x&-y\\y&x\end{vmatrix}}=-\frac{xu+yv}{x^2+y^2}\;,\;\;\;\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\begin{vmatrix}x&-u\\y&-v\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x&-y\\y&x\end{vmatrix}}=\frac{yu-xv}{x^2+y^2}\)

全微分法

\(\begin{cases}xdu-ydv=-udx+vdy\\ydu+xdv=-vdx-udy\end{cases}\)

\(du=\frac{\begin{vmatrix}-udx+vdy&-y\\-vdx-udy&x\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x&-y\\y&x\end{vmatrix}}=-\frac{xu+yv}{x^2+y^2}dx+\frac{xv-yu}{x^2+y^2}dy\)

\(\Longrightarrow\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{xu+yv}{x^2+y^2}\;,\;\;\;\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{yu-xv}{x^2+y^2}\)