高等数学A2 2020/4/3 第十三次课

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多元函数的基本概念

点与集合的定义

空间领域

点 \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) 的 \(\delta\) 领域：

\(U(M_0,\delta) = \{\;(x,y,z)\; | \;\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}<\delta\;\}\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \{\;(x,y,z)\; | \;(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2<\delta ^2\;\}\)

内点

如果存在 \(\delta>0\) 使 \(U(M_0,\delta) ⊆ V\)，则称 \(M_0\) 是点集 \(V\) 的一个内点

\(V\) 的内点属于 \(V\)

外点

如果存在 \(\delta>0\) 使 \(U(M_0,\delta) ∩ V \ne \varnothing\)，则称 \(M_0\) 是点集 \(V\) 的一个内点

\(V\) 的外点不属于 \(V\)

边界点

如果对任何 \(\delta>0\)，都有 \(\begin{cases}U(M_0,\delta)∩V\ne \varnothing\\U(M_0,\delta)∩V^C\ne \varnothing\end{cases}\)

则称 \(M_0\) 是点集 \(V\) 的一个边界点

\(V\) 的边界点可以属于 \(V\)，也可以不属于 \(V\)

聚点

如果对任何 \(\delta>0\)，都有 \(U(M_0,\delta)∩V\ne \varnothing\)

聚点 \(=\) 内点 \(+\) 边界点

\(V\) 的聚点可以属于 \(V\)，也可以不属于 \(V\)

开集

点集 \(D\) 是开集是指它的每一个点都是其内点

闭集

点集 \(D\) 是闭集指它包含了它的每一个边界点

既不开也不闭的集合：半开半闭区间

又开又闭的集合：整个平面 \(/\) 空间

连通集

如果点集 \(D⊆R^n\) 中任意两点 \(P,Q\)，都可以由 \(D\)中的直线或折线连接起来，

则称 \(D\) 是 \(R^n\) 中的连通集

开区域：连通的开集

闭区域：连通的闭集

有界点集

如果存在 \(k>0\) 使得 \(D⊆U(0,k)\)，

则称 \(D\) 是 \(R^n\) 中的有界集，否则称 \(D\) 是 \(R^n\) 中的无界集

多元函数

二元函数

\(∀(x,y)∈R⊆R……2\)，\(∃z∈R\) （唯一）

使得 \((x,y)\xrightarrow{f} z\) 即 \(z=f(x,y)\)

多元函数

二元或二元以上的函数

参考二元函数定义，\(y=f(x_1,x_2,...,x_n)\)

多元函数的极限

以二元函数为例，设 \(M=\{x,y\}\) 为二元组

\(\lim\limits_{M\to M_0}f(M)=A\)

\(∀ε>0,\;∃\delta >0\;\;\;∀(x,y)∈\mathring{U}((x_0,y_0),\delta)\)

\(\iff 0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta\)

通用定理

\((1)\) 连续性定理：一切多元初等函数在其定义域内是连续的

\((2)\) 有界性和最值性

\((3)\) 介值定理