高等数学A2 2020/3/17 第七次课

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数量积与向量积

数量积 \((Scalar\;product)\) 的运算规律：

• \(\vec a·\vec b=\vec b·\vec a\)

• \((\vec a+\vec b)·\vec c=\vec a·\vec c+\vec b·\vec c\)

• \((k\vec a)\vec b=k(\vec a·\vec b)=a(k\vec b)\)
  

向量积 \((Vector\;product)\) 的运算规律：

• \(\vec a\times \vec b=-\vec b\times \vec a\)

• \((k\vec a)\times \vec b=k(\vec a\times \vec b)=\vec a\times (k\vec b)\)

• \(\vec a\times(\vec b+\vec c)=\vec a\times\vec b+\vec a\times \vec c\)

\(\;\;\;\;\;\,(\vec b+\vec c)\times\vec a=\vec b\times\vec a+\vec c\times \vec a\)

向量积的坐标运算：

设：\(\vec a=(a_1,a_2,a_3)\;\;\vec b=(b_1,b_2,b_3)\)

\(\vec i=(1,0,0)\;\;\vec j=(0,1,0)\;\;\vec k=(0,0,1)\)

\(\vec a\times \vec b=\left[ \begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix} a_2 & a_3\\ b_2 & b_3\end{matrix}\right]\vec i-\left[\begin{matrix} a_1 & a_3\\ b_1 & b_3\end{matrix}\right]\vec j+\left[\begin{matrix} a_1 & a_2\\ b_1 & b_2\end{matrix}\right]\vec k\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\,=(a_2b_3-b_2a_3)\vec i-(a_1b_3-b_1a_3)\vec j+(a_1b_2-b_1a_2)\vec k\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\,=(a_2b_3-b_2a_3\;,\;-a_1b_3+b_1a_3\;,\;a_1b_2-b_1a_2)\)


矩阵的运算规则