高等数学A2 2020/3/10 第五次课

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常系数非齐次线性微分方程

求解步骤

\((1)\) 求出对应线性齐次方程的通解 \(Y=C_1y_1+C_2y_2\)

\((2)\) 求出原方程的一个特解 \(y^*\)

\((3)\) 得出该方程的通解 \(y=Y+y^*\) （根据 \(1.6\) 的定理三）

现在讨论两种求出二阶常系数非齐次线性微分方程特解的方法：

现有方程：\(y''+py'+qy=f(x)\)

Ⅰ型自由项

若 \(f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}\;\;\) 其中 \(P(x)\) 是 \(m\) 次多项式

则称 \(f(x)\) 为Ⅰ型自由项

（推导过程见笔记本）

特解： \(y^*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x}\;\;\;\) \(k=\begin{cases}0\;\;当\;\lambda \;不是特征根\\1\;\;当\;\lambda \;是特征单根\\2\;\;当\;\lambda \;是特征重根\end{cases}\)

以 \(m=2\) 为例，设 \(Q_m(x)=ax^2+bx+c\)

构造出特解之后，有两种解法：

\(①\) \(y*\) 求导后将 \(y*,y*',y*''\) 带入原方程利用系数一致性得出 \(a、b、c\) 的值

\(②\) 令 \(Q(x)=x^k·Q_m(x)\)

求导后带入公式：\(P_m(x)=Q''(x)+(2\lambda +p)Q'(X)+(\lambda ^2+p\lambda +q)Q(x)\)

Ⅱ型自由项

若 \(f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)coswx+P_n(x)sinwx]\;\;\) 其中 \(P_i(x)\) 是 \(i\) 次多项式

则称 \(f(x)\) 为Ⅱ型自由项

（推导过程见笔记本，需要利用欧拉公式 \(e^{ix}=cosx+isinx\)）

特解：\(y^*=x^ke^{\lambda x}[Q_m(x)coswx+P_m(x)sinwx]\;\;\) 其中 \(m=max\{l,n\}\)

\(k=\begin{cases}0\;\;当\;\lambda +wi\;不是特征根\\1\;\;当\;\lambda +wi\;是特征根\end{cases}\)

构造出 \(y*\) 之后求导带入原方程利用系数一致性解出