高等数学A2 2020/3/5 第四次课

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常系数齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程 \(\;\boxed{y''+py'+qy=f(x)}\)

首先讨论（推导方法见笔记本）：

二阶常系数齐次线性微分方程 \(y''+py'+qy=0\)

\((1)\) 写出上式特征方程为：\(\lambda^2+p\lambda+q=0\)，求出特征根

\(\lambda_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}\)

\((2)\) 根据特征根的不同情形，按下表写出通解

实根 \(\lambda_1\ne\lambda_2\)：\(y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\)

实根 \(\lambda_1=\lambda_2\)：\(y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_2x}\)

共轭复根 \(\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta\)：\(y=e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)\)