高等数学A2 2020/2/27 第二次课

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齐次方程

\(n\) 次齐次函数： \(f(x,y)\)

如：\(x^2-3xy\) 为二次齐次函数，\(x^3-3x^2y+y^3\) 为三次齐次函数

齐次微分方程：\(M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\)

其中，\(M(x,y)\,、N(x,y)\) 是同次齐次函数

例：\(\frac{dy}{dx}=\frac{xy-x^2}{x^2+y^2}=\frac{\frac{y}{x}-1}{1+(\frac{y}{x})^2}=f(\frac{y}{x})\)

令 \(\frac{y}{x}=u\) 即 \(y=xu\) 则 \(\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}\) 代入原式并整理

得：\(\frac{1}{f(u)-u}du=\frac{1}{x}dx\;\) 积分后： \(\int\frac{1}{f(u)-u}du=\int\frac{1}{x}dx \rightarrow F(u)=lnx+C\)

齐次微分方程通解即为：\(F(\frac{y}{x})=lnx+C\)

一阶线性微分方程

一阶线性微分方程的一般形式（以 \(x\) 为自变量）：\(A_1(x)\frac{dy}{dx}+A_0(x)y=F(x)\)

标准形式：\(\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\)

特殊地，当 \(Q=0\) 时，该方程为齐次一阶线性方程 \(\frac{dy}{dx}+P(x)y=0\)

分离变量后：\(\frac{1}{y}dy=-P(x)dx\;\;\) 积分后：\(lny=-\int P(x)dx+lnC\) 即 \(y=Ce^{-\int P(x)dx}\)

上式即为齐次一阶线性方程的通解

现在讨论非齐次一次线性方程 \(\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\;\;\; (Q(x)\ne0)\) 解的情况：

（证明过程略）通解：\(y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)\)

展开该式后：\(y=Ce^{-\int P(x)dx}+e^{-\int P(x)dx}·\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx\)

第一项是该方程对应齐次方程的通解，第二项是 \(C=0\) 时该方程的一个特解

该式亦可这样表示： \(y =\bar{y} + y^*\)