高等数学A2 2020/2/25 第一次课

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微分方程的基本概念

• 微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程

• 常微分方程：含有一元函数导数的方程

• 微分方程的阶：方程中未知函数的最高阶导数的阶数

• \(n\) 阶微分方程的一般形式：\(F(x,y,y',y''... y^{(n)} )\)

• 方程的解：满足微分方程的函数

• 方程的通解：\(n\) 阶微分方程含有 \(n\) 个独立任意常数的解

• 初始条件可以确定通解中的任意常数进而形成特解

可分离变量的微分方程

\(\frac{dy}{dx} = f(x,y)\) 的几何意义方向场（斜率场）

可分离变量的微分方程：\(\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\)

分离变量： \(\frac{1}{g(y)}=f(x)dx\)

积分：\(\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx\)

通解：\(G(y)=F(x)+C\)

对一些不能分离变量的微分方程，可以作变量替换将其化为可分离变量的的方程

例：解方程 \(f(x)=\begin{cases}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x-y}+1\\y(0)=1\end{cases}\)

令 \(z=x-y\) 求导后 \(\frac{dy}{dx}=1-\frac{dz}{dx}\)

原式化为： \(1-\frac{dz}{dx}=1+\frac{1}{z}\)

分离变量后同时积分：\(\int zdz=- \int dx\) 得到通解后带入初始条件即可