Manacher’s Algorithm

基本思想：对于字符串中每一个字符str[i]，求出以它为中心的最大回文串的长度P[i]，输出P[i]最大值对应的回文串

以字符串str="babcbabcbaccba"为例

Step 1 字符串预处理

在字符串两端以及每个字符间插入特殊字符#，然后在两端分别插入^$，构成新字符串 T="^#b#a#b#c#b#a#b#c#b#a#c#c#b#a#$"

插入#的目的是处理长度为偶数的回文串，例如"abccba"，如果不插入字符，它的回文中心没有字符；插入^$的目的是省去边缘检测的步骤

Step 2 确定每个字符位置的回文串长度P[i]

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
^	#	b	#	a	#	b	#	c	#	b	#	a	#	b	#	c	#	b	#	a	#	c	#	c	#	b	#	a	#	$
0	0	1	0	3	0	1	0	7	0	1	0	9	0	1	0	5	0	1	0	1	0	1	2	1	0	1	0	1	0	0

最大P[i]为i=12时P[i] = 9，因此最大回文子串为abcbabcba

为了简化计算P[i]的步骤，我们利用回文字串的中心对称性，维护L、C、R三个变量，可以分为两种情况

1、i关于C的对称字符i'对应的回文串未超出L，即i'-L = R - i < P[i']

P[i] = P[i'] = P[2 * C - i]

如上图，P[13]和P[11]关于C对称，且T[11]对应的回文字串在L右边，因此P[13]=P[11]=1

2、i关于C的对称字符i​′​​对应的回文串超出L，即i​′​​−L=R−i≥P[i​′​​]

此时需要从逐个字符判断P[i]的值

• 确定基础长度和起始字符位置：

  • 如果i>R，基础长度为Len=0，起始字符位置为Ind=i+1
  • 如果i≤R，基础长度为Len=R−i，起始字符位置为Ind=R+1

• 从Ind开始逐个字符搜索

• 如果T[i]对应的回文字串超出R，即Len>R−i，更新C、L、R

GET-LEN(T, i, R)
    if(i > R)
        Len = 0
        Ind = i + 1
    else
        Len = R - i
        Ind = R + 1
    while(T[Ind] == T[2 * i - Ind])
        Len = Len + 1
        Ind = Ind + 1
    if Len > R - i
        C = i
        L = C - Len
        R = C + Len

如上图，P[15]和P[7]关于C对称，但是T[11]对应的回文字串超出LL，因此P[15]≠P[7]=7

• 由于i=15<20=R，基础长度Len = R - i = 5，起始位置Ind = R + 1 = 21
  
• 第一次比较，T[21]≠T[2∗i−Ind]=T[9]，检查结束，P[i] = Len = 5
  
• Len=5=R−i，不需要更新C、L、R
  

Step 3 找出PP中的最大值MaxLenMaxLen以及其位置MaxIndMaxInd，输出最长回文串

最长回文子串为str.substr((MaxInd - 1 - MaxLen)/2, MaxLen)

C++实现：

string preProcess(string str)
{
    int len = str.length();
    if (len == 0)
        return "^$";
    string res = "^";
    for (int i = 0; i < len; i++)
        res += "#" + str.substr(i, 1);
    res += "#$";
    return res;
}
string longestPalindrome(string s) {
    string T = preProcess(s);
    int len = T.length();
    vector<int> P(len);
    int C = 0, L = 0, R = 0;
    int MaxLen = 0, MaxInd;
    for (int i = 0; i < len; i++)
    {
        if (2 * C - i < 0 || 2 * C - i - P[2 * C - i] <= L)
        {
            int temp = R - i < 0? 0: R - i;
            int ind = i > R? i + 1: R + 1;
            while (ind < T.length() && 2 * i - ind >= 0 && T[ind] == T[2 * i - ind])
            {
                temp++;
                ind++;
            }
            P[i] = temp;
            if (temp > R - i)
            {
                C = i;
                L = C - temp;
                R = C + temp;
            }
        }
        else
            P[i] = P[2 * C - i];
        if (P[i] > MaxLen)
        {
            MaxLen = P[i];
            MaxInd = i;
        }
    }
    for (int i = 0; i < len; i++)
        cout << T[i];
    cout << endl;
    for (int i = 0; i < len; i++)
        cout << P[i];
    cout << endl;
    return s.substr((MaxInd - 1 - MaxLen) / 2, MaxLen);
}

时间复杂度分析

预处理部分，共需要循环N次，每次为O(1)，总时间耗费为O(N)

计算PP时

• 第一种情况时间耗费为O(1)，第一种情况出现不会超过N次，即O(N)；
• 第二种情况，由于C,R,L动态变化，每个字符被比较的次数不会超过一次，因此总的比较次数不超过N次，即O(N)

综上所述，Manacher's Algorithm的时间复杂度为O(N) + O(N) + O(N) = O(N)