跳跃表

最近在看redis方面的书籍，碰到了跳跃表这个数据结构。常规的单向链表在进行增删改查时，只能从头结点开始遍历，时间复杂度O(N)，而跳跃表采用了二分法的思想，平均时间复杂度可以做到O(logN)，最坏时间复杂度O(N)。另外，跳跃表是一种基于概率的数据结构（见下文添加元素操作）。

基本结构

下图是跳跃表理想情况下的结构示意图。从图中可以看出，

• 每个节点包含两个指针：指向水平方向的下一个节点和指向竖直方向的下一个节点（实际结构并非如此，后面会说）。
• 跳跃表中包含多条链表。图中包含4条链表，也就是有4层。每层的头结点head只存放指向下个节点的指针，不存放元素。可以看出，从下向上，链表的数量成倍减少：level0的结构与普通的单向链表相同，存放所有元素；level1存放总数的1/2的数据元素；level2存放总数的1/4的数据元素；level3存放总数的1/8的数据元素。
• 底层的元素总是比上层元素多，并且如果上层存在某一个元素，那么在同一索引位置的下面几层也都存在该元素。比如level2层存在元素4，那么level0和level1也必定存在元素4。

基本操作

查找操作

跳跃表按照自顶向下的顺序进行查找，也就是从head3开始查找。

• 假设要查找8，head3.next=8，ok！
• 假设要查找7，head3.next=8>7，则指针向下移动到head2，head2.next=4<8，则指针向右移动到4节点，4.next=8>7，指针向下移动到level1层的4节点，4.next=6<7，指针向右移到6节点，6.next=8>7，指针向下移动到level0所在的6节点,6.next=7，ok！（查找轨迹见下图）

可以看出，跳跃表查找操作的思路与二分法较为类似，相比于单向链表逐个遍历要更快些。

删除操作

在查找操作的基础上，只需要找到待删除节点，然后逐个调整每一层待删除节点前一个节点的next指针即可。

添加操作

添加操作相对复杂一些。首先要将元素添加到level0层相应的位置，而level1、level2和level3层是否添加该元素，我们采用基于概率的方法进行判断。首先level0层肯定要添加元素，因为它要包含所有元素。规定添加到每层的概率是1/2。也就是说添加到level1层的概率是1/2，添加到level2层的概率是1/4，添加到level3层的概率是1/8......但是需要记住，如果在第n层没有添加元素，那么在这之上的所有层都不再添加元素。

既然是基于概率，我们可以用随机数进行模拟。跳跃表一共有4层，2的4次方是16，利用随机函数生成一个[0,15)之间的随机整数，如果该随机数在[0,8)之间，在将元素添加到level1；如果该随机数在[0,4)之间，在将元素添加到level1、level2；如果该随机数在[0,1)之间，在将元素添加到level1、level2、level3。

代码实现（Java）

跳跃表的实际结构如下图所示。与上面的结构相比，每个元素并非在每一层都有一个节点，而是将元素所在索引位置的所有层封装成一个节点。

首先需要定义跳跃表节点SkipListNode

public class SkipListNode {
	private int value;
	private SkipListNode[] next;
	// getters setters
}

然后定义跳跃表SkipList

public class SkipList {

	private SkipListNode head;
	private int levelNum;
	private Random random;
	private Integer randomLimit;

	public SkipList(int levelNum) { // levelNum=4 : 0 1 2 3
		this.head = new SkipListNode(null, levelNum); // head只存放指向下个节点的指针，不存放元素
		this.levelNum = levelNum;
		this.random = new Random();
		this.randomLimit = (int)Math.pow(2, levelNum - 1);
	}
	/** 
	 * 查找元素
	 */
	public boolean find(Integer value) throws Exception {
		if(value == null) throw new Exception("The value is null");
		if(getNode(value) == null) return false;
		else return true;
	}
	/**
	 * 添加元素
	 */
	public void insert(Integer value) throws Exception {
		if(value == null) throw new Exception("The value is null");
		if(find(value)) throw new Exception("The value already exists");
		
		// 计算level1、level2...是否添加该元素
		int level = levelNum - 1;
		int rand = random.nextInt(randomLimit);
		int powNum = 0;
		while(level > 0) {
			if(rand < Math.pow(2, powNum)) {
				break;
			}
			level--;
			powNum++;
		}
		
		SkipListNode newNode = new SkipListNode(value, levelNum);
		SkipListNode preNode = null;
		SkipListNode curNode = null;
		SkipListNode tmpNode = null;
		while(level >= 0) {
			preNode = head;
			curNode = head.getNext(level);
			while(curNode != null) {
				if(value < curNode.getValue()) {
					break;
				}
				preNode = curNode;
				curNode = curNode.getNext(level);
			}
			tmpNode = preNode.getNext(level);
			preNode.setNext(level, newNode);
			newNode.setNext(level, tmpNode);
			level--;
		}
	}
	// 删除元素
	public void delete(Integer value) throws Exception {
		if(value == null) throw new Exception("The value is null");
		if(!find(value)) throw new Exception("The value doesn't exist");
		int level = levelNum - 1;
		SkipListNode preNode = head;
		SkipListNode curNode = head;
		Integer curValue = null;
		while(level >= 0) {
			curNode = curNode.getNext(level);
			if(curNode != null) {
				curValue = curNode.getValue();
				if(curValue == value) {
					break;
				} else if(curValue < value) {
					preNode = curNode;
				} else {
					curNode = preNode;
					level--;
				}
			} else {
				curNode = preNode;
				level--;
			}
		}
		while(level >= 0) {
			curNode = head.getNext(level);
			preNode = head;
			while(curNode.getValue() != value) {
				preNode = curNode;
				curNode = curNode.getNext(level);
			}
			preNode.setNext(level, curNode.getNext(level));
			level--;
		}
	}
	
	// 打印跳跃表
	public void printList() {
		int level = levelNum - 1;
		SkipListNode curNode = null;
		while(level >= 0) {
			curNode = head.getNext(level);
			System.out.print(level + " level: ");
			while(curNode != null) {
				System.out.print(curNode.getValue() + "-->");
				curNode = curNode.getNext(level);
			}
			System.out.println("null");
			level--;
		}
	}
	
	private SkipListNode getNode(Integer value) throws Exception {
		if(value == null) throw new Exception("The value is null");
		int level = levelNum - 1;
		SkipListNode preNode = head;
		SkipListNode curNode = head;
		Integer curValue = null;
		while(level >= 0) {
			curNode = curNode.getNext(level);
			if(curNode != null) {
				curValue = curNode.getValue();
				if(curValue == value) {
					return curNode;
				} else if(curValue < value) {
					preNode = curNode;
				} else {
					curNode = preNode;
					level--;
				}
			} else {
				curNode = preNode;
				level--;
			}
		}
		return null;
	}
}