Codeforces 1165E Two Arrays and Sum of Functions 题解

题目简述

已知两个长度均为 \(n\) 的数组 \(a\) 和 \(b\)。

给定一个函数：\(f(l, r) = \sum \limits_{l \le i \le r} a_i \cdot b_i\)。

你的任务是对数组 \(b\) 中的元素以任意的顺序重新排序，使 \(\sum \limits_{1 \le l \le r \le n} f(l, r)\) 的值最小。

题目分析

我们首先进行化简，发现题目中要求的实质上就是最小化 \(\sum\limits_{l=1}^{n} \sum\limits_{r=l}^{n} \sum\limits_{i=l}^{r} a_i \times b_i\)。接下来，我们考虑每一个 \(a_i \times b_i\) 的贡献，由上述和式可知，\(a_i \times b_i\) 出现的次数等于包含 \(i\) 的区间的个数，设包含 \(i\) 的区间为 \([l,r]\)。显然 \(1 \leq l \leq i\) 且 \(i \leq r \leq n\)。则 \(l\) 共有 \(i\) 个，\(r\) 共有 \(n-i+1\) 个，由乘法原理可得，包含 \(i\) 的区间共有 \(i \times (n-i+1)\) 个。即 \(a_i \times b_i\) 共计算了 \(i \times (n-i+1)\) 次。

有了上述的推导，题目要最小化的和式便可以化简成 \(\sum\limits_{i=1}^{n} i \times (n-i+1) \times a_i \times b_i\)，由题目可得 \(i \times (n-i+1) \times a_i\) 是不变的，所以我们可以令 \(c_i=i \times (n-i+1) \times a_i\)，题目便被转化成最小化 \(\sum\limits_{i=1}^{n} c_i \times b_i\)。

此时，我们引入排序不等式，它的内容如下：

设有两个长度为 \(n\) 的数列 \(a\) 和 \(b\)，满足 \(a\) 序列和 \(b\) 序列单调不减，\(c\) 序列是 \(b\) 序列的乱序排列，则有：

\[\sum\limits_{i=1}^{n} a_i \times b_{n-i+1} \leq \sum\limits_{i=1}^{n} a_i \times c_i \leq \sum\limits_{i=1}^{n} a_i \times b_i \]

有了排序不等式，解法就呼之欲出了，我们倒序排列序列 \(c\)，再升序排列序列 \(b\)，最后求 \(\sum\limits_{i=1}^{n} c_i \times b_i\) 即可，由排序不等式可证，此时的答案就是最小的了。

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int unsigned long long
const int N=2*1e5+10;
const long long mod=998244353;
int n,a[N],b[N],ans;
inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
	    if(ch=='-')
		{
			f=-1;
		}
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
	    x=(x<<1)+(x<<3)+ch-48;
	    ch=getchar();
	}
	return x*f;
}
inline void write(int x)
{
    if(x<0)
	{
    	putchar('-');
		x=-x;
	}
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
bool cmp(int x,int y)
{
	return x>y;
}
signed main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i]=read();
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		b[i]=read();
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i]*=i*(n-i+1);
	}
	sort(a+1,a+1+n,cmp);
	sort(b+1,b+1+n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i]%=mod;
		ans=(ans+a[i]*b[i])%mod;
		ans%=mod;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}