Luogu P1896[SCOI2005]互不侵犯

状态压缩典型例子？

一定要说的一点：

\(\color{#fccefa}{不开long long一时爽，提交代码火葬场}\)

SOLUTION：

定义数组\(dp[i][j][s]\),

表示当前要放第i行的国王

算上第i行放上的国王共有j个国王已经被放在棋盘上了

第i行的状态是s

那么可以考虑转移：

\(dp[i][j][s]=\sum \{dp[i-1][j-cnt(s)][s']|((s'<<1)\&s)||((s'>>1)\&s)||(s' \&s)==0\}\)

其中，s'表示上一行的状态，要保证互不侵犯，则：

国王周围的八个格子显然都不可以再放国王，那么显然从0~(1<<n)的状态并不是都可以取到的（就如\(3_{10}\to 011_{2}\)显然就是不符合要求的），那么我们就不能简单的从0_{(1<<n)枚举子集（为什么要说这个呢，因为我就直接枚举了，然后就炸了√）}~

需要进行dfs来把合法的子集处理出来，这里用了两个数组

num[S] 记录状态为S的摆法中，有多少个1

kind[Cnt] 记录一种符合要求的摆法，其中Cnt是符合要求的摆法的总个数

具体代码如下：

void dfs(int cnt,int now,int nu,int bj){
	if(cnt==n+1) return;
	if(num[now]==-1)
		kind[++Cnt]=now;
	num[now]=nu;
	if(bj==0) dfs(cnt+1,now+(1<<cnt),nu+1,1);
	dfs(cnt+1,now,nu,0);
}

dfs也就是处理长度为n的一行每两个1相隔至少为1个空位置(0)的摆法

其中：

cnt 表示当前枚举到了第几位

now 表示当前状态下，二进制所对应的十进制是多少

nu 表示目前一共填了几个1

bj 用于判断上一位填的是1还是0

其中0表示上一位填的0 1表示上一位填的1

显然如果上一位填的是1，那么这一位我们只能填0，因此当bj==1时，我们只dfs这一位填0的情况，否则dfs两种情况。因为会重复搜索到（鬼知道为什么，所以要判断之前num[now]是否！=-1了（之前是判断！=0来着，后来发现num[0]就等于0），如果=-1，就需要记录下来，！=-1，就不需要再记录一遍了.

初始状态是\(dp[1][num[kind[i]]][kind[i]]=1\)

也就是第一行的国王，每一种状态都有一种方法√；

然后就可以愉快的AC

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

inline int read() {
	int ans=0;
	char last=' ',ch=getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0') last=ch,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9') ans=(ans<<1)+(ans<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	if(last=='-') ans=-ans;
	return ans;
}

int n,k,Cnt;
long long dp[10][100][1000];
int num[1000],kind[1000];

void dfs(int cnt,int now,int nu,int bj){
	if(cnt==n+1) return;
	if(num[now]==-1)
		kind[++Cnt]=now;
	num[now]=nu;
	if(bj==0) dfs(cnt+1,now+(1<<cnt),nu+1,1);
	dfs(cnt+1,now,nu,0);
}
bool cmp(int a,int b) {
	return a<b;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	memset(num,-1,sizeof(num));
	dfs(0,0,0,0);
	sort(kind+1,kind+Cnt+1,cmp);
	for(int i=1;i<=Cnt;i++) dp[1][num[kind[i]]][kind[i]]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		for(int a=1;a<=Cnt;a++) {
			for(int b=1;b<=Cnt;b++) {
				if(kind[a]&kind[b]) continue;
				if(kind[a]&(kind[b]<<1)) continue;
				if(kind[a]&(kind[b]>>1)) continue;
				for(int j=k;j>=num[kind[a]];j--) 
					dp[i][j][kind[a]]+=dp[i-1][j-num[kind[a]]][kind[b]];
			}
		}
	}
	long long ans=0;
	for(int i=1;i<=Cnt;i++) ans+=dp[n][k][kind[i]];
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}