集训Day1-DP初入

DP

LGP1772

简要题意： 给定无向带权图（\(m\) 点 \(e\) 边），一共有 \(n\) 天，其中每天都有若干点不能走，与前一天路径不同将增加 \(k\) 代价，求 \(n\) 天总代价（总路径长度+额外代价），\(n\le 100,m\le 20, e\le 200\)

一句话题解： DP。考虑维护 \(i\sim j\) 天代价 \(cost_{i,j}\)，维护前 \(i\) 天最小代价 \(f_i=\min_{0\le j< i}(f_j+cost_{j+1,i}\cdot(i-j)+k)\)，表示从 \(j+1\) 天到第 \(i\) 天路径相同的代价。部分细节需特判。

CF1312E

简要题意： 给定长度 \(n\) 序列 \(a\) ，若 \(a_i=a_{i+1}\)，那么可以合并两数为 \(a_i+1\)，求最终最短长度。\(n\le 500\)

一句话题解： 先设计区间DP数组 \(f_{i,j}\) 为区间 \([i,j]\) 最终合成数（一定不超过一种），时间 \(\Theta(n^3)\)。然后再DP求解最少段数，\(\Theta(n^2)\)

分析： 设 \(b_i=2^{a_i}\)，那么合并操作就是 \(2^{a_i}+2^{a_{i+1}}=2^{a_i+1}\)，在 \(b\) 上表现为加法。加法有固定答案。

CF1485F

简要题意：

解法1： 发现操作序列可以如此与合法 \(a\) 满足双射：我们设 \(f_{i,0/1}\)，转移为

\[f_{i,0}=f_{i-1,0}+f_{i-1,1}\\ f_{i,1}=f_{i-1,0}+f_{i-1,1}-\texttt{Wrong}\\ \]

详细地，\(\texttt{Wrong}=cnt_{S_i-1}\)，\(cnt\) 用map维护，每次对 \(cnt_{S_j}\) 加上 \(f_{j,1}\) ，\(S\) 是 \(b\) 的前缀和

解法2： 对于前 \(i\) 个数，维护方案数 \(f_k\)。\(k\) 是当前 \(a\) 的前缀和

1. 复制操作，让 \(f'_{k+b_i}=f_k\)
2. 求和操作，让 \(f'_{b_i}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f_{k}\)
3. 去重：\(b_{i+1}=a_{i+1}=\sum_{j=1}^{i+1} a_j\)，此时 \(k=0\)，应不转移/撤销复制操作。

发现操作1可以直接用全局位移的形式，直接转移。剩下两个在位移后计算。范围极大，使用map等数据结构维护。

CF1209E2

只有前 \(n\) 个最大值所在列有贡献。把图缩成 \(n\times n\)

若我们放宽限制，使 \(r_i\) 是第 \(i\) 行随便选，发现答案与原问题等价。

令 \(S\) 是已经选出的 \(r_i\) 的 \(i\) 的集合。

枚举 \(\bar S\) 子集 \(T\)，使 \(f_{i,S}:=f_{i+1,S\mid T}+g_T\)。\(g_S\) 为集合 \(S\) 对应的 \(r_i\) 最大值。

总结： 去除无用状态、放宽限制且仍等价

CF1215E

简要题意： 给定长度 \(n\) 序列 \(a\)，求最小相邻交换次数，使相同值连续。\(n\le 4\cdot 10^5,1\le a_i\le 20\)

首先，交换次数等价于求逆序对对数。

令 \(f_S\) 为权值集合 \(S\) 的最小答案，\(g_{x,S}\) 表示满足 \(a_i = x,a_j \in S,i < j\) 的 (i,j) 个数

那么，有

\[f_S+g_{x,S}\to f_{S\cup \{x\}} \]

计算 \(g\) 可以用 \(w_{x,y}\) 表示 \(a_i=x,a_j=y,i<j\) 的 \((i,j)\) 对数。则 \(g_{x,S}=g_{x,S/ \{y\}}+w_{x,y},y\in S\)

CF626F

简要题意： 给定 \(n\) 个数，求分组方案数，满足每个组内最大值与最小值之差的总和小于 \(k\)，对 \(10^9+7\) 取模。

因为不需要有序，先对序列排序，使得从小到大，便于处理差。

考虑DP，设计状态为 \(f_{i,j,k}\)，表示前 \(i\) 个数，有 \(j\) 个可以接着分组（未确定），当前总代价为 \(k\)。

不能直接考虑，因为第三维有可能到达极大/极小值炸空间。

发现 \(a_r-a_l=\sum_{i=l}^{r-1} (a_{i+1}-a_i)\)。所以可以拆贡献。

因为有 \(j\) 个组的极差拆除了这个相邻差，所以代价 \(d=j\cdot (a_i-a_{i-1})\)。

分类讨论，当前为 \(f_{i,j,k}\) 时有四种情况：

• 添新组，可以继续分：\(f_{i,j,k}\to f_{i+1,j+1,k+d}\)
• 添新组，不可以继续分：\(f_{i,j,k}\to f_{i+1,j,k+d}\)
• 直接插入，可以继续分：\(j\cdot f_{i,j,k}\to f_{i+1,j,k+d}\)
• 直接插入，不可以继续分：\(j\cdot f_{i,j,k}\to f_{i+1,j-1,k+d}\)

CF632E

简洁题意： \(n\) 个物体，均有价值 \(v_i\)，问刚好 \(k\) 个物体总价值可能数量。重点：\(\Theta(n^3)\) 可以通过本题。

容易构造状态 \(f_i\) 表示直到当前，取到 \(i\) 价值的最小所需价值。但这样我们这样无法确定是否能刚好取到 \(k\) 个。

首先，如果有价值为0的物品，那我们就可以构造让所有物体数量小于 \(k\) 的方案合法（补0）。我们可以将每一个数减去最小值来构造0，然后将状态中的价值乘上 \(k\cdot min\)，便是答案。