Strassen 矩阵相乘算法

偶尔在算法课本上面看到矩阵相乘的算法,联想到自己曾经在蓝桥杯系统上曾经做过一道矩阵相乘的题目,当时用的是普通的矩阵相乘的方法,效率极低,勉强通过编译。所以决定研究一下Strassen矩阵相乘算法,由于本人比较懒,所以就从网上找了一些相关的资料供大家参考;

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题目描述

    请编程实现矩阵乘法,并考虑当矩阵规模较大时的优化方法。

思路分析

    根据wikipedia上的介绍:两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵B的列数和另一个矩阵A的行数相等时才能定义。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵,它们的乘积AB是一个m×p矩阵,它的一个元素其中 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p。

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    值得一提的是,矩阵乘法满足结合律和分配率,但并不满足交换律,如下图所示的这个例子,两个矩阵交换相乘后,结果变了:

 

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     下面咱们来具体解决这个矩阵相乘的问题。

解法一、暴力解法

    其实,通过前面的分析,我们已经很明显的看出,两个具有相同维数的矩阵相乘,其复杂度为O(n^3),参考代码如下:

  1. //矩阵乘法,3个for循环搞定    
  2. void Mul(int** matrixA, int** matrixB, int** matrixC)    
  3. {    
  4.     for(int i = 0; i < 2; ++i)     
  5.     {    
  6.         for(int j = 0; j < 2; ++j)     
  7.         {    
  8.             matrixC[i][j] = 0;    
  9.             for(int k = 0; k < 2; ++k)     
  10.             {    
  11.                 matrixC[i][j] += matrixA[i][k] * matrixB[k][j];    
  12.             }    
  13.         }    
  14.     }    
  15. }  

解法二、Strassen算法

    在解法一中,我们用了3个for循环搞定矩阵乘法,但当两个矩阵的维度变得很大时,O(n^3)的时间复杂度将会变得很大,于是,我们需要找到一种更优的解法。

    一般说来,当数据量一大时,我们往往会把大的数据分割成小的数据,各个分别处理。遵此思路,如果丢给我们一个很大的两个矩阵呢,是否可以考虑分治的方法循序渐进处理各个小矩阵的相乘,因为我们知道一个矩阵是可以分成更多小的矩阵的。

    如下图,当给定一个两个二维矩阵A B时:

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    这两个矩阵A B相乘时,我们发现在相乘的过程中,有8次乘法运算,4次加法运算:

 

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    矩阵乘法的复杂度主要就是体现在相乘上,而多一两次的加法并不会让复杂度上升太多。故此,我们思考,是否可以让矩阵乘法的运算过程中乘法的运算次数减少,从而达到降低矩阵乘法的复杂度呢?答案是肯定的。

    1969年,德国的一位数学家Strassen证明O(N^3)的解法并不是矩阵乘法的最优算法,他做了一系列工作使得最终的时间复杂度降低到了O(n^2.80)。

    他是怎么做到的呢?还是用上文A B两个矩阵相乘的例子,他定义了7个变量:

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    如此,Strassen算法的流程如下:

  • 两个矩阵A B相乘时,将A, B, C分成相等大小的方块矩阵:

 

 

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  • 可以看出C是这么得来的:

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  • 现在定义7个新矩阵(读者可以思考下,这7个新矩阵是如何想到的):

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  • 而最后的结果矩阵C 可以通过组合上述7个新矩阵得到:
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    表面上看,Strassen算法仅仅比通用矩阵相乘算法好一点,因为通用矩阵相乘算法时间复杂度是技术分享,而Strassen算法复杂度只是技术分享。但随着n的变大,比如当n >> 100时,Strassen算法是比通用矩阵相乘算法变得更有效率。

具体实现的伪代码如下:

Strassen (N,MatrixA,MatrixB,MatrixResult)
          
    //splitting input Matrixes, into 4 submatrices each.
            for i  <-  0  to  N/2
                for j  <-  0  to  N/2
                    A11[i][j]  <-  MatrixA[i][j];                   //a矩阵块
                    A12[i][j]  <-  MatrixA[i][j + N / 2];           //b矩阵块
                    A21[i][j]  <-  MatrixA[i + N / 2][j];           //c矩阵块
                    A22[i][j]  <-  MatrixA[i + N / 2][j + N / 2];//d矩阵块
                                
                    B11[i][j]  <-  MatrixB[i][j];                    //e 矩阵块
                    B12[i][j]  <-  MatrixB[i][j + N / 2];            //f 矩阵块
                    B21[i][j]  <-  MatrixB[i + N / 2][j];            //g 矩阵块
                    B22[i][j]  <-  MatrixB[i + N / 2][j + N / 2];    //h矩阵块
            //here we calculate M1..M7 matrices .                                                                                                                       
            //递归求M1
            HalfSize  <-  N/2    
            AResult  <-  A11+A22
            BResult  <-  B11+B22                                                                     
            Strassen( HalfSize, AResult, BResult, M1 );   //M1=(A11+A22)*(B11+B22)          p5=(a+d)*(e+h)    
            //递归求M2
            AResult  <-  A21+A22    
            Strassen(HalfSize, AResult, B11, M2);          //M2=(A21+A22)B11                 p3=(c+d)*e
            //递归求M3
            BResult  <-  B12 - B22   
            Strassen(HalfSize, A11, BResult, M3);         //M3=A11(B12-B22)                  p1=a*(f-h)
            //递归求M4
            BResult  <-  B21 - B11  
            Strassen(HalfSize, A22, BResult, M4);         //M4=A22(B21-B11)                  p4=d*(g-e)
            //递归求M5
            AResult  <-  A11+A12    
            Strassen(HalfSize, AResult, B22, M5);         //M5=(A11+A12)B22                  p2=(a+b)*h
            //递归求M6
            AResult  <-  A21-A11
            BResult  <-  B11+B12      
            Strassen( HalfSize, AResult, BResult, M6);     //M6=(A21-A11)(B11+B12)          p7=(c-a)(e+f)
            //递归求M7
            AResult  <-  A12-A22
            BResult  <-  B21+B22      
            Strassen(HalfSize, AResult, BResult, M7);      //M7=(A12-A22)(B21+B22)          p6=(b-d)*(g+h)

            //计算结果子矩阵
            C11  <-  M1 + M4 - M5 + M7;

            C12  <-  M3 + M5;

            C21  <-  M2 + M4;

            C22  <-  M1 + M3 - M2 + M6;
            //at this point , we have calculated the c11..c22 matrices, and now we are going to
            //put them together and make a unit matrix which would describe our resulting Matrix.
            for i  <-  0  to  N/2
                for j  <-  0  to  N/2
                    MatrixResult[i][j]                  <-  C11[i][j];
                    MatrixResult[i][j + N / 2]          <-  C12[i][j];
                    MatrixResult[i + N / 2][j]          <-  C21[i][j];
                    MatrixResult[i + N / 2][j + N / 2]  <-  C22[i][j];
posted @ 2017-03-15 17:48  lin_zone  阅读(412)  评论(0编辑  收藏