集合

集合：
注意：
一、“属于”是说某一个事物x是某一个集合A的元素。只能用于元素和集合之
间,表明元素与集合之间的关系
“包含于”是说某一个集合A的所有元素都是另外的一个集合的元素B。只能用
于集合和集合之间，表明集合与集合之间的关系。其符号是大写字母U放倒，
使U的圆头指向子集A。
2、空集属于任何集合吗?
你这句话是错误的,空集也是集合,而集合跟集合之间的关系只能是包含和被包
含的关系.只有集合里的元素与集合间的关系才是属于关系
但是如果你把“属于”改成“包含于”就对了.
3.
A={1},B={{1}},A属于B,但A不包含于B

φ:空集
所有元素的集合是U(全集)
常用数集：
N(自然数集)
N+(正整数集)
Z(整数集)
Q(有理数集)
R(实数集)

集合交换律

A∩B=B∩A

A∪B=B∪A

集合结合律

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

(A∪B)∪C=A∪(B∪C)

集合分配律

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

集合德.摩根律

Cu(A∩B)=CuA∪CuB

Cu(A∪B)=CuA∩CuB

集合A中不同元素的数目称为集合A的基数，
无限集：定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集。

定义：设有集合A，由集合A所有子集组成的集合，称为集合A的幂集。（P(A)
）

定理：有限集A的幂集的基数等于2的有限集A的基数次幂。

x∈U,且x不属于A，则，x组成的集合是A相对于U的补集（CuA）(U-A)(~A)
x∈A,且x 不属于B,则，x组成的集合是A与B的差集。（A/B）（A-B）

A={1,2,3},B={1,2}，C={1,2,3}
B包含于A,C,B是A,C的真子集，也是A,C的子集。
A=C

A与B的对称差：（A-B）U(B-A)

 

 

笛卡尔积：

笛卡尔积不满足交换律，结合律
A={1,2},B={a,b}
A,B两个集合构成的有序对是直乘积，或笛卡尔积。
A ×B={<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}
A×B 与B×A 不相等
有序对x不等于y ,则<x,y>不等于<y,x>

设有序对的二元关系记作R。
二元关系：有序对构成的集合。
a,b是集合
if(<a,b>∈R),则aRb,R:从a到b的二元关系（a ×b的子集），if（a=b）,R:a
上的二元关系。
if(<a,b>不属于R),则<a,b>不是R关系中的元素。

R={<a,b><b,c>}
Dom(R)(R的定义域)={a,b}
Ran(R)(R的值域)={b,c}sdf
R={<a,b>|a∈A,b∈A }=A×A,:A上的全关系
空集是A上的空关系。
R={<a,b>|a∈A}:A上的恒等关系。

R*S={<a,c>|a∈A,c∈C,且存在b∈B,使<a,b>∈R,<b,c>∈S}

关系矩阵：
R是A到B的关系
Mr=(rij)m×n(rij={1,<ai,bj>在关系中；0，<ai,bj>不在关系中}，
i=1,2..m;j=1,2..n)

自反关系：
R={}任意x∈A<x,x>∈R,
反自反关系：
R={}任意x∈A<x,x>不属于R,
对称关系：
任意a,b属于A,<a,b>∈R,则<b,a>∈R,
反对称关系：
任意<a,b>∈R,<b,a>∈R,则b=a;
等价关系：R是对称关系，自反关系，传递关系(<a,b>a~b(a等价于b))
等价类：[a]={b|b∈A,且aRb}
偏序关系：>=

闭包：（自反闭包（r(R)=R U IA），对称闭包(s(R)=R U R 的逆关系)，传递
闭包（t(R)=R U R2 U R3 .....Rn(n个元素)））R2:R的平方

设<A,<=>为偏序集，集合B包含于A,存在元素b∈A,
1，若对任意a∈B,都有a<=b,则称b为B的上界。
2，若对任意a∈B,都有a>=b,则称b为B的下界。
3，若集合C={b|b为B的上界}，则C的的最小元称为B的最小上界或上确界。
4，若集合D={b|b为B的下界}，则D的的最大元称为B的最大下界或下确界。

集合B的最大（小）元一定是B的上（下）界（最小上（大下）界）

函数：
设f是从集合A到B的函数，
1，若Ran(f)(值域)=B,则称f为从A到B的满射；
2，若对任意的b∈Ran(f),都存在唯一的a∈Dom(f),使得f(a)=b,则称f为从A到
B的单射，或：一对一的；
3，若f是从A到B既满足满射又是单射，则f为从A到B的双射

4，设A为集合，对任意子集A'包含于A,A'的特征函数Xa':E->{0,1}定义为：
Xa'(a)={1,a∈A';0,a∈A-A'}

5,设函数f:A->B,g:B->C,g*f={<a,c>|a∈A,c∈C,且存在b∈B,使f(a)=b,g(b)
=c}为f和g的复合函数。
Ran(f)包含于Dom(g)保证复合函数g*f是非空的。
函数f:A->B,g:B->C,那么复合函数g*f是一个从A到C的函数，而且，对任意一
个a∈A,都有：（g*f）(a)=g(f(a))

if函数f:A->B是双射的，则有
1.f-1*f=Ia,f*f-1=Ib,(f-1)-1=f(f-1为f的反函数表示)