2026/7/27 数据结构8(树(1))

一、树的概念和原理

树是一种非线性结构，其严格的数学定义是：如果一组数据中除了第一个节点（第一个节点称为根节点，没有直接前驱节点）之外，其余任意节点有且仅有一个直接前驱，有零个或多个直接后继，这样的一组数据形成一棵树。树中的数据元素之间的逻辑关系是一对多的。

所以树也属于数据结构的一种类型，其实树就是n个结点的有限集，当n=0的时候，此时树就被称为空树，如果是一颗非空树应该满足以下两个条件：
任意的非空树中有且只有一个特定的结点，该结点被称为根或称为根结点，也就是n = 1。（必须有一个根结点）
当n>1的时候，其余的结点可以分为m个（m>1）互不相交的有限集 T1、T2、T3.........Tm ，每个集合也被称为一棵树，就是根的子树。

对于树状结构，除了根结点之外，其余的结点都可以分为多个不相交的子树。
如果一个结点有子树，则该结点就被称为子树的“双亲”，该结点的子树就被称为结点的“孩子”，另外，具有相同结点的子树就被称为“兄弟”。从根结点到某个结点的路径上的所有结点，都被称为该结点的“祖先”，另外，以某个结点为根的子树中的所有结点都被称为该结点的“子孙”。

树是分层结构，一般把树的根结点称为第一层，其余的子结点的层次就是在上一层的基础上+1，另外一般把树的最大层数称为树的深度，树的深度也被称为树的高度。

一般把一个结点拥有子树的数量称为结点的度，把度为0的结点称为叶子结点，把度不为0的结点称为分支结点，也就是除了叶子结点之外的结点都是分支结点。

可以看到，结点A的度是2，结点B的度是1，结点H的度是2，结点C的度是3。结点D、E、F、G、I都是叶子结点，对于A、B、H、C都是分支结点。

二、二叉树
二叉树是一种树状结构，二叉树的特点就是每个结点至多有两颗子树（每个结点的度不会超过2），并且二叉树的子树是有左右之分，如果有两颗子树，就分别叫做左子树和右子树，而且二叉树的子树是有次序的，不能随意更改的，所以二叉树也属于有序树，也就意味着哪怕二叉树只有一个子树，也要区分到底是左子树还是右子树。

二叉树也是n个（n>=0）结点的有限集，一般二叉树有5种形式，分别是空树、根结点（ROOT）、有根结点和左子树以及右子树、左子树（Left Child Tree）、右子树（Right Child Tree）。如图所示。

斜树
一般只有左子树的二叉树被称为左斜树，一般只有右子树的二叉树被称为右斜树，可以看到斜树退化为线性结构，所以斜树是没有体现二叉树的性能。

满二叉树
一颗高度为h的二叉树，树的结点个数为 2h - 1个就被称为满二叉树，满二叉树所有的结点的度都是2，也就是每个结点都是有左子树和右子树，满二叉树的叶子结点的数量是最多的。另外，叶子结点都集中最下面一层。

完全二叉树
对于一颗树而言，完全二叉树指的是只有树的最下面2层的结点的度可以小于2，并且结点的编号也是按照从上到下，从左到右的顺序进行排列，最下面一层的叶子结点都连续集中在左树。

可以知道满二叉树一定是完全二叉树，但是完全二叉树不一定是满二叉树。

二叉查找树

二叉查找树,即BST树（Binary Search Tree），一般也被称为二叉搜索树或者二叉排序树，二叉查找树的结点是有键值key的，如果二叉查找树不是空树则需要遵循以下的特点：

1.如果二叉查找树有左子树，则左子树的结点的键值key要小于左子树的根结点的键值key
2.如果二叉查找树有右子树，则右子树的结点的键值key要大于右子树的根结点的键值key
3.对于二叉查找树而言，左子树和右子树也分别是二叉查找树。

可以看到，左子树的结点的键值都是小于右子树，二叉查找树的结点的键值key是不重复的。

平衡二叉树
平衡二叉树也是有序树，指的是树中任一结点的左子树和右子树的深度之差不超过1，如下图所示：

三、二叉树的性质

性质1：非空二叉树中的叶子结点数量等于双分支结点数量+1，双分支结点指的是就是度为2的结点，假设二叉树的叶子结点数量为n0,二叉树中单分支结点的数量为n1，二叉树中双分支结点的数量为n2，则二叉树中结点的总数 = n0 + n1 + n2。

性质2：二叉树的第i层上最多有2^(i-1)（i≥1）个结点，因为二叉树结点最多的情况就是满二叉树。

性质3：高度为h的二叉树最多有2^（h） -1（h≥1）个结点。满二叉树就是结点最多的二叉树，所以换句话说，满二叉树前h层结点的数量为(2^h)-1（h≥1）。

四、二叉树的存储结构
(1)顺序结构
二叉树的顺序结构就是采用一组地址连续的内存单元（数组）按照从上到下，从左到右的顺序依次存储二叉树中的结点，也就是把二叉树中编号为i的结点存储在数组下标为i-1的元素空间中。
如果按照二叉树的性质而言，满二叉树以及完全二叉树使用顺序存储比较合适，好处是可以最大程序的节约内存空间，并且可以利用数组下标查找数据。
对于一般的二叉树而言，也可以使用顺序结构进行存储，为了可以使用数组来表示结点的逻辑关系，需要数组的一些元素空间来存储空结点，会导致浪费空间。0表示不存在的空结点。

(2)链式结构
链式结构就可以有效的解决数组中存储空结点的问题，链式结构不受内存的限制，由于一个结点最多可能存在两个子结点，所以应该采用双向不循环链表的方案来实现。

五、二叉树的遍历方案

对于二叉树的遍历，指的是从根结点出发，依次访问二叉树中所有的结点，每个结点只会被访问一次，一共提供了三种方案实现二叉树结点的遍历：前序遍历、中序遍历、后序遍历。
(1)前序遍历（根结点--->左子树--->右子树）

输出顺序： A B D G H C E I F

(2)中序遍历（左子树--->根结点--->右子树）

输出顺序：G D H B A E I C F

(3)后序遍历（左子树--->右子树--->根结点）

输出顺序： G H D B I E F C A