每日一题【1】椭圆离心率的取值范围

已知过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{a^2}=1(a>b>0)$的焦点$F_1,F_2$的两条互相垂直的直线的交点在椭圆内部（不包括边界），则此椭圆的离心率的取值范围是( ）
$A.(0,1)$ $B.(0,\frac{\sqrt2}2)$ $C.(\frac{\sqrt2}2,1)$ $D.(\frac12,\frac{\sqrt2}2)$