关于FFT

不知道大家学习FFT的时候是什么样子的,我反正是看了好多次愣是没看懂,什么蝶形变换啊,相关啊,xxxxxx啥的直接把偶淹死在公式里.o(︶︿︶)o .昨晚狠狠的翻了下<线性代数及其应用> Peter D. Lax版本的发现,`哦,原来是这样`,当然同名的书还有David C.Lay版本的也很好.这个文章不会有傅立叶变换啥的,傅立叶变换可以看这个 http://blog.csdn.net/dznlong/article/details/2261150 ,只有一个\(W_N^n\)可以暂时忘了恐怖的\(e\)吧\(W_N^n\)有个性质就是分割圆为N份,\(W_N^{n+1}\)的含义就是\(W_N^n\)往后转\(W_N^1\).很显然的\(W_N^n\)就有些性质.

1.\(W_N^n\)的周期为N,因为这个东东转了一圈又回去了. \(W_N^n = W_N^{kN+n}\)

2.若N为偶数的 \(W_N^{n+N/2} = -W_N^n\).可以认为它们在圆心的相对处.

3.\(W_{kN}^{kn} = W_N^n\)这个也好理解,可以想象这有块饼(嗯,真好吃),分成kN份然后取其中的kn个,与分成N份然后取其中的n个效果是一样的,直观的描述可以是这样的\(\frac{kn}{kN} = \frac{n}{N}\),多么简单啊.

好了,简单的标志选择找好了,下面说下前置知识,内积.

内积其实很常用,简单的讲\( (x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n) \),\((y_1,y_2,y_3,\cdots,y_n)\)的内积就是\(x_1 \times y_1+x_2 \times y_2+x_3 \times y_3+\cdots+x_n \times y_n\).但是这样写不好看.不符合XXX审美观点,改一下,\((x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n)^T\times (y_1,y_2,y_3,\cdots,y_n)\) 其实只不过是用矩阵乘法改了下而已.不过这样对于大量的类似计算就好看多了.如

\( \begin{bmatrix} y_0\\ y_1\\ .\\.\\.\\y_{N-1}\\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}w_{00} & w_{01} & . & . &. &w_{0 n-1} \\ w_{10}&w_{11} &. & . & . & w_{1 n-1}\\ .& . &. &. & . & .\\ .&. & . & . & . & .\\ .& . &. &. & . & .\\ w_{n-1 0} &w_{n-1 1} &. &. &. &w_{(n-1)(n-1)} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}x_0\\ x_1\\ .\\.\\.\\x_{n-1}\\\end{bmatrix}\)

的含义就是 \(y_i = \sum_{k=0}^{N-1} w_{ik}x_k\)可以看到傅立叶变换的影子了.

好了,踢开傅立叶,继续.

上式的简洁写法当然是 \(Y=W\times X\)

Y是变换后的结果,W是傅立叶矩阵X是原始数据.

W中的元素是什么样子的呢,单个的元素是\(w_N^{rc}\) 其中r,c,是w所在的行和列.

此时带入矩阵,变成如下样子.

\(\begin{bmatrix} y_0\\ y_1\\ .\\.\\.\\y_{N-1}\\ \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} w^0 & w^0 & . & . &. &w^0    \\  w^1 & w^2 &. & . & . & w^{N-1}\\  .& . &. &. & . & .            \\  .&. & . & . & . & .          \\  .& . &. &. & . & .        \\  w^0 &w^{n-1} &. &. &. &w^{(N-1)(N-1)}  \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}x_0\\ x_1\\ .\\.\\.\\x_{n-1}\\\end{bmatrix}\)

好了,现在就是找规律了.我们有这样的如果N是合数,即\(N=i\times j\) 假设\(i = 2\).i=?都一样,只不过书上都这么写,把我搞晕了,为何每次都是假设 \(N = 2^k\).然后刷刷地蝶形变换导出结果.使用2来分割确实好看些,这边写完后我再推导个3的.如果是可以分成2份,很自然的就想到分成奇偶两个部分.拿W的第一行来说原来是

 

 

\\PS没写完,主要是看MathJax的效果.还有就是,一下子没这么多的精力.我会慢慢(不会太慢的)加的.

\\PS2 -->额买不起!, Latex真恐怖啊,不知道大家有好的Latex工具没.这次发现数从0开始比从一开始好算.所有上面的公式改的乱了些.