算法竞赛_数论

数论

• 计算方法——解方程——高等数学与线性代数
• 组合方法——枚举所有组合情况形成系数不一样组合求组合个数，等价于枚举所有排列情况除以重复次数——组合数学

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1.排列

把r 个相异物体放入 n 个不同的盒子里，每个盒子允许放任意个物体， 而且要考虑放入同一盒中的物体的次序，共有多少种分配方案?
把r 个相同物体放入 n 个不同的盒子里，每个盒子允许放任意个物体，共有多少种分配方案?
在 3n+1 个球中，有n 个相同其他各不相同 . 求从这3n+1  个球中选取 n 个的方案数.
整数n拆分成最多不超过m个数和的拆分数，和n拆分成最大不超过m的拆分数相等

2.方程整数解个数

求方程 x1+x2+x3=15 的整数解。其中： 3 ≤ x1 ≤ 5，1 ≤ x2 ≤ 6，4 ≤ x3 ≤ 7

34.非齐次常系数线性方程解

𝑎𝑛 − 3𝑎𝑛−1 + 2𝑎𝑛−2 = 6𝑛2
𝑎𝑛 + 3𝑎𝑛−1 − 10𝑎𝑛−2 = $(−7)^n$*n

5.证明排列组合公式

C(n+r+1,r)= C(n+r,r)+C(n+r-1,r-1)+ ……+C(n+1,1)+C(n,0)
C(n,k)C(k,r)=C(n,r)C(n-r,k-r), (k<=r).
C(m,0)+C(m,1)+…+C(m,m)=2m
C(n,0)-C(n,1)+C(n,2)-…C(n,n)=0 
C(m+n,r)=C(m,0)C(n,r)+C(m,1)C(n,r-1) +…+ C(m,r)C(n,0) , r<=min(m,n).
C(m+n,m) =C(m,0)C(n,0)+ C(m,1)C(n,1) +…+ C(m,m)C(n,m), m<=n.

6.容斥原理

求A，B，C，D，E，F，G，H的全排列中，只有4个不在原来位置的排列数目。
求A，B，C，D，E，F，G，H的全排列中，A，C，E，G四个字母不在原来位置的排列上数目。
一个孩子每天至少吃一个苹果，总共吃7周，但是每周吃苹果不超过 11 个。证明存在连续若干天这个孩子恰好吃了 20 个苹果。
约束问题转化为棋盘

7.图着色

枚举所有排列情况除以重复次数

8.构造正交拉丁方

奇数阶：1（12345顺位)2(反转)
偶数阶：1（1234中心对称）2（移位）