DLX之数独问题的解决

      数独是一个非常经典的智力游戏。它的游戏的规则是这样的:在一个9x9的方格中,你需要把数字1-9填写到空格当中,并且使方格的每一行和每一列中都包含1-9这九个数字。同时还要保证,空格中用粗线划分成9个3x3的方格也同时包含1-9这九个数字。
如下例题:

其解为:


      在计算科学理论中,这一类问题的解答被称之为NPC问题中的Hitting Set Problem,中文名应该叫做碰集问题。该类问题可以通过转换成为精确覆盖问题,其中以行表示概然,以列表示常规约束。
      在数独问题中,行所表示的概然状态很明显为(r,c,k)即行,列,放置的数字。而列所表示的约束大致整理了下,分做四种,即r行中放置数k可行性,c列放置数k可行性,放置于(r,c)格子可行性以及块b(即所属区域)放置数k的可行性。因此行总共有N*N*N=9*9*9=729个,列总共有9*9*4=324个,问题转化为在729*324的矩阵中取若干行,使每个列只有一个'1',此时对应一个数独的解,而(r,c)格的约束保证了我们最后解的行数一定<=N*N。至此,模型转化完成。

      以下是我实现的代码,可以适合N*N的任意大小数独问题,其中nil表示未填写部分的ascii,flag表示最小数字ascii,所有输入必须转化到grid[i][j]中。


#include <iostream>
using namespace std;


const int N=9;//规模大小
const int Per=3;//sqrt(N);
char grid[N+2][N+2];//存储格
char res[N+2][N+2];//答案
const int MAXR=N*N*N;
const int MAXC=N*N*4;
const int MAXLEN=4*N*MAXC+MAXC+MAXR;
const int st[4]={0,N*N,2*N*N,3*N*N};
int L[MAXLEN];
int R[MAXLEN];
int D[MAXLEN];
int U[MAXLEN];
int nRow[MAXLEN];
int nCol[MAXLEN];

int Col[MAXC]; //判定列集是否已插入
int Row[MAXR]; //判定行集是否已插入
//int RC[MAXR][MAXC]; //判定元素是否已插入
int RS[MAXR],CS[MAXC]; //行长与列长
int eid; //内存标识
int head;
int Cn;
int ans[MAXR];
int alen;

char flag;
char nil;
//DLX算法 进行精确覆盖 判定前请先判断是否各列中都有1存在
//对于行列唯一的情况 可以考虑将RC数组取消以加速
inline void init()
{
    memset(Row,
-1,sizeof(Row));
    memset(Col,
-1,sizeof(Col));
//    memset(RC,-1,sizeof(RC));
    memset(nCol,-1,sizeof(nCol));
    memset(nRow,
-1,sizeof(nRow));

    head
=0;
    L[head]
=R[head]=D[head]=U[head]=head;
    eid
=1;
    Cn
=0;
}


//插入行

inline 
void insRow(int r)
{
    
    U[D[head]]
=eid;
    U[eid]
=head;
    D[eid]
=D[head];
    D[head]
=eid;
    
    L[eid]
=R[eid]=eid;
    
    RS[r]
=1;
    Row[r]
=eid++;
}


//插入列

inline 
void insColumn(int c)
{
    L[R[head]]
=eid;
    L[eid]
=head;
    R[eid]
=R[head];
    R[head]
=eid;
    
    U[eid]
=D[eid]=eid;
    
    CS[c]
=1;
    Col[c]
=eid++;
}


//插入元素

inline 
void insElement(int r,int c)
{
    
int rid=Row[r];
    
int cid=Col[c];
    
    L[R[rid]]
=eid;
    L[eid]
=rid;
    R[eid]
=R[rid];
    R[rid]
=eid;
    
    
    U[D[cid]]
=eid;
    U[eid]
=cid;
    D[eid]
=D[cid];
    D[cid]
=eid;
    
    
    nRow[eid]
=r;
    nCol[eid]
=c;
    
    
++CS[c];
    
++RS[r];

//    RC[r][c]=eid;
    ++eid;
}


//插入操作

inline 
void insert(int r, int c)
{

    
if (Col[c]==-1)
    
{
        
++Cn;
        insColumn(c);
    }


    
if(Row[r]==-1)
    
{
        insRow(r);
    }


//    if(RC[r][c]==-1)
    {
        insElement(r,c);
    }


}


//删除列(使用cid)

inline 
void RemoveCol(int c)
{
    
//c=Col[c];

    L[R[c]]
=L[c];
    R[L[c]]
=R[c];

    
int i,j;

    
for (i=D[c];i!=c;i=D[i])
    
{
        
for (j=R[i];j!=i;j=R[j])
        
{
            
if(nCol[j]==-1continue;
            U[D[j]]
=U[j];
            D[U[j]]
=D[j];
            
--CS[nCol[j]];
        }

    }


}


//恢复列(使用cid)
inline void ResumeCol(int c)
{
    
//c=Col[c];

    
int i,j;

    
for (i=U[c];i!=c;i=U[i]) 
    
{
        
for (j=L[i];j!=i;j=L[j]) 
        
{
            
if(nCol[j]==-1continue;
            
++CS[nCol[j]];
            U[D[j]]
=j;
            D[U[j]]
=j;
        }

    }


    L[R[c]]
=c;
    R[L[c]]
=c;
}


//精确覆盖

inline 
bool dfs(int k)
{

    
if (R[head]==head)
    
{
        alen
=k;
        
return true;
    }


    
int i,j;

    
int s=INT_MAX;
    
int c;

    
for (i=R[head];i!=head;i=R[i])
    
{
        
 if(nCol[D[i]]==-1) {c=i;continue;}
        
if (CS[nCol[D[i]]]<s)
        
{
            s
=CS[nCol[D[i]]];
            c
=i;
        }

    }


    RemoveCol(c);

    
for (i=U[c];i!=c;i=U[i])
    
{
        ans[k]
=nRow[i];
        
for (j=L[i];j!=i;j=L[j])
        
{
            
if (nCol[j]==-1)
            
{
                
continue;
            }

            RemoveCol(Col[nCol[j]]);
        }

        
        
if(dfs(k+1))
        
{
            
return true;
        }


        
for (j=R[i];j!=i;j=R[j])
        
{
            
if (nCol[j]==-1)
            
{
                
continue;
            }

            ResumeCol(Col[nCol[j]]);
        }

    }


    ResumeCol(c);    
    
return false;
}



inline 
int BoxNum(int i,int j)
{
    
return (i/Per)*Per+j/Per;
}


inline 
void Sudoku()
{

    init();
    
int i,j,k;
    
int R,C;
    
    
for (i=0;i<N;++i)
    
{
        
for (j=0;j<N;++j)
        
{
            
int ind=N*i+j;
            
int BN=BoxNum(i,j);
            
            
if (grid[i][j]==nil)
            
{
                
for (k=0;k<N;++k)
                
{
                    R
=N*N*k+N*i+j;
                    
                    C
=st[0]+ind;
                    insert(R,C);
                    
                    
                    C
=st[1]+N*i+k;
                    insert(R,C);
                    
                    
                    C
=st[2]+N*j+k;
                    insert(R,C);
                    
                    C
=st[3]+N*BN+k;
                    insert(R,C);                                
                }

            }

            
else
            
{
                R
=N*N*(grid[i][j]-flag)+N*i+j;
                C
=st[0]+ind;
                insert(R,C);
                
                C
=st[1]+N*i+(grid[i][j]-flag);
                insert(R,C);
                
                C
=st[2]+N*j+(grid[i][j]-flag);
                insert(R,C);
                
                C
=st[3]+N*BN+(grid[i][j]-flag);
                insert(R,C);
            }

        }

    }

    
    
if (Cn==MAXC&&dfs(0))
    
{
        
int r,c,k;
        
for(i=0;i<alen;++i)
        
{        
            c
=ans[i]%N;
            ans[i]
/=N;
            
            r
=ans[i]%N;
            ans[i]
/=N;
            
            k
=ans[i];
            
            res[r][c]
=k+flag;
        }
        
        
for (i=0;i<N;++i)
        
{
            
for (j=0;j<N;++j)
            
{
                putchar(res[i][j]);
            }

            puts(
"");
        }

    }

    
else
    
{
        puts(
"Could not complete this grid.");
    }


}
posted @ 2009-07-31 12:45  Hdu-Lost  阅读(1920)  评论(0编辑  收藏  举报