Luogu P9221 「TAOI-1」Pentiment 题解 [ 蓝 ] [ 二维 DP ] [ 线段树优化 ] [ 珂朵莉树 ]

Pentiment：比较 EZ 的线段树优化，但是我调了两天才调完 /ll。

不难想出一个暴力 DP：\(dp_{i,j}\) 表示直角蛇在第 \(i\) 行第 \(j\) 列进入第 \(i+1\) 行的方案数。然后转移是显然的：

• 当这个格子被 ban，\(dp_{i,j} = 0\)。
• 否则，\(dp_{i,j}\xleftarrow[l < k < r]{+} \sum dp_{i - 1, k}\)。

时间复杂度是 \(O(nm)\) 的，无法通过。

注意到 DP 转移的形式是一个区间覆盖，区间查询和的形式，所以直接上线段树转移即可。注意要特判空白行。

因为值域较大，所以可以离散化或者动态开点。时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

本题还存在线性做法，区间覆盖可以上珂朵莉树，快速幂可以使用光速幂代替，时间复杂度 \(O(n)\)。但我不会光速幂，于是下面的代码是采用离散化线段树实现的。

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define eb(x) emplace_back(x)
#define pb(x) push_back(x)
#define lc (p << 1)
#define rc ((p << 1) | 1)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
using pi = pair<int, int>;
const int N = 200005;
const ll mod = 998244353;
ll n, m, q, x[N], y[N], b[N], bn;
map<int, vector<int> > tot;
struct Node{
    int l, r;
    ll len, sm, tag = -1;
};
struct Segtree{
    Node tr[4 * N];
    void pushup(int p)
    {
        tr[p].sm = (tr[lc].sm + tr[rc].sm) % mod;
    }
    void pushdown(int p)
    {
        if(tr[p].tag != -1)
        {
            tr[lc].sm = tr[lc].len * tr[p].tag % mod;
            tr[rc].sm = tr[rc].len * tr[p].tag % mod;
            tr[lc].tag = tr[p].tag;
            tr[rc].tag = tr[p].tag;
        }
        tr[p].tag = -1;
    }
    void build(int p, int ln, int rn)
    {
        tr[p] = {ln, rn, (b[rn + 1] - b[ln]) % mod, (b[rn + 1] - b[ln]) % mod, -1};
        if(ln == rn) return;
        int mid = (ln + rn) >> 1;
        build(lc, ln, mid);
        build(rc, mid + 1, rn);
        pushup(p);
    }
    void update(int p, int ln, int rn, ll v)
    {
        if(ln <= tr[p].l && tr[p].r <= rn)
        {
            tr[p].sm = v * tr[p].len % mod;
            tr[p].tag = v;
            return;
        }
        pushdown(p);
        int mid = (tr[p].l + tr[p].r) >> 1;
        if(ln <= mid) update(lc, ln, rn, v);
        if(rn >= mid + 1) update(rc, ln, rn, v);
        pushup(p);
    }
    ll query(int p, int ln, int rn)
    {
        if(ln <= tr[p].l && tr[p].r <= rn) return tr[p].sm;
        pushdown(p);
        int mid = (tr[p].l + tr[p].r) >> 1;
        if(rn <= mid) return query(lc, ln, rn);
        if(ln >= mid + 1) return query(rc, ln, rn);
        return (query(lc, ln, rn) + query(rc, ln, rn)) % mod;
    }
}tr1;
int getid(int x)
{
    return (lower_bound(b + 1, b + bn + 1, x) - b);
}
ll qpow(ll a, ll b)
{
    ll res = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = (res * a) % mod;
        b >>= 1;
        a = (a * a) % mod;
    }
    return res;
}
int main()
{
    //freopen("sample.in", "r", stdin);
    //freopen("sample.out", "w", stdout);
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin >> n >> m >> q;
    for(int i = 1; i <= q; i++)
    {
        cin >> x[i] >> y[i];
        b[++bn] = y[i];
        b[++bn] = y[i] + 1;
    }
    b[++bn] = m + 1;
    b[++bn] = 1;
    sort(b + 1, b + bn + 1);
    bn = unique(b + 1, b + bn + 1) - b - 2;
    if(q == 0)
    {
        cout << qpow(m, n + 1);
        return 0;
    }
    tr1.build(1, 1, bn);
    for(int i = 1; i <= q; i++)
        tot[x[i]].push_back(getid(y[i]));
    int pre = 0;
    for(auto itm : tot)
    {
        int now = itm.fi;
        if(pre != now - 1)
        {
            ll tmp = tr1.query(1, 1, bn);
            tmp = qpow(m, now - 2 - pre) * tmp % mod;
            tr1.update(1, 1, bn, tmp);
        }
        int nxt = 0;
        for(auto id : itm.se)
        {
            if(nxt + 1 <= id - 1)
                tr1.update(1, nxt + 1, id - 1, tr1.query(1, nxt + 1, id - 1));
            tr1.update(1, id, id, 0);
            nxt = id;
        }
        if(nxt + 1 <= bn)
            tr1.update(1, nxt + 1, bn, tr1.query(1, nxt + 1, bn));
        pre = now;
    }
    ll ans = tr1.query(1, 1, bn);
    ans = qpow(m, n - pre) * ans % mod;
    cout << ans;
    return 0;
}