Luogu P3287 [SCOI2014] 方伯伯的玉米田 题解 [ 紫 ] [ 多维 DP ] [ 贪心 ] [ 树状数组 ] [ 状态设计优化 ]

[SCOI2014] 方伯伯的玉米田：单 \(\log\) 做法比较 educational。

首先考虑一个暴力 DP：\(dp_{i, j, k}\) 表示以 \(i\) 的元素结尾，用了 \(j\) 个区间加，LIS 的最后一个元素为 \(k\) 的 LIS 长度。

进一步观察性质，发现每次区间加的右端点为 \(n\) 一定是最优的。用调整法容易证明，如果一个区间加的右端点没有延伸到 \(n\)，那么可能在未被区间加的地方就不能继承前面的 LIS 了。

因为区间加会一直延伸到 \(n\)，所以有式子：\(k = a_i + j\)，DP 状态就被我们省掉了一维。

然后转移是平凡的，式子如下：

\[dp_{i,j}\gets \max_{k < i, l \le j, a_k + l \le a_i + j} dp_{k, l} + 1 \]

注意到这是个三维偏序的转移，所以直接上 CDQ 优化大概就能过了。但是我们转移的时候已经是按顺序转了 \(i\) 的，因此只要考虑后面的二维偏序即可。而又因为后面两维值域较小，所以直接用二维树状数组维护即可。时间复杂度 \(O(nk\log n\log k)\)。

考虑如何优化掉一个 \(\log\)。注意到这三维都是根据其前缀的信息转移，所以考虑对前缀转移的一个常见 trick：状态设计优化为存储其前缀的所有信息。在本题中，就体现为 \(dp_{i,j, k}\) 表示对于前 \(i\) 位，用了不超过 \(j\) 个区间加，LIS 的最后一个元素不超过 \(k\) 的 LIS 长度。因为 \(k\) 的等式在此时不成立了，所以不能省略 \(k\) 的一维。

用了前缀优化状态后，转移显然从 \(dp_{i-1, j-1,k},dp_{i-1, j, k-1}\) 得到。考虑优化最后一维，发现在前两维确定后，如果 \(i\) 要成为 LIS 中的元素，那么可以直接从前面转移了的 DP 值中选择 \(k \le a_i + j\) 的 DP 值；否则直接从前面的继承过来就行。因此我们可以把 \(k\) 这一维放在树状数组上，只有在 \(i\) 为 LIS 元素的时候才从树状数组上转移，否则直接继承前面的状态即可。

对于省略 \(k\) 可以这么理解：在第二种情况中 \(k\) 其实是不发生任何改变的，而只有第一种情况中 \(k\) 才会对转移产生影响。省略 \(k\) 相当于把原来的 DP 数组拆成了两个，一个是第一种情况的 DP 值，一个是第二种情况的 DP 值。因为第一种情况也只会从第一种情况转移，所以第一种情况内部使用树状数组存 \(k\) 那一维的 DP 值即可。

时间复杂度 \(O(nk\log (a_i + k))\)。

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define eb(x) emplace_back(x)
#define pb(x) push_back(x)
#define lc(x) (tr[x].ls)
#define rc(x) (tr[x].rs)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
using pi = pair<int, int>;
const int N = 10005, K = 505;
int n, m, dp[N][K], a[N];
int lowbit(int x)
{
    return (x & (-x));
}
struct BIT{
    int tr[N];
    void update(int p, int v)
    {
        p++;
        while(p < N)
        {
            tr[p] = max(tr[p], v);
            p += lowbit(p);
        }
    }
    int query(int p)
    {
        int res = 0;
        p++;
        while(p)
        {
            res = max(res, tr[p]);
            p -= lowbit(p);
        }
        return res;
    }
}tra[N], trb[N];
int main()
{
	// freopen("P3287.in", "r", stdin);
	// freopen("P3287.out", "w", stdout);
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = m; j >= 0; j--)
        {
            dp[i][j] = max(tra[j].query(a[i] + j), trb[a[i] + j].query(j)) + 1;
            tra[j].update(a[i] + j, dp[i][j]);
            trb[a[i] + j].update(j, dp[i][j]);
        }
        for(int j = 0; j <= m; j++)
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j]);
    }
    cout << dp[n][m];
    return 0;
}