HT-018 Div3 构造 题解 [ 黄 ] [ 数学 ] [ 结论 ]

构造：结论题，gcy数竞大佬tql%%%orz。

结论

先放结论：如果 \(x \bmod 4=2\) ，那么 \(x\) 无法被表示为 \(a^2-b^2\) 的形式；除此之外的其他数都可以。

证明

对 \(a^2-b^2\) 因式分解，得 \(x=(a+b)(a-b)\) 。

当 \(x \bmod 2=1\) 时

包含 \(x \bmod 4=1\) 和 \(x \bmod 4=3\) 的情况。

尝试构造 ：

\[\begin{cases} x+y=n \\x-y=1\end{cases} \]

解得：

\[\begin{cases} x=\frac{n+1}{2} \\y=\frac{n-1}{2}\end{cases} \]

因为 \(x\) 为奇数，所以 \(x,y\) 皆为整数，成立。

当 \(x \bmod 4=0\) 时

把 \(4\) 提出来：

\[x=4t=(x+y)(x-y) \]

所以设 \(x+y=2m,x-y=2k\) ，\(m,k\) 皆为整数 。

则解得

\[\begin{cases} x=m+k \\y=m-k\end{cases} \]

显然 \(x,y\) 为整数，成立。

当 \(x \bmod 4=2\) 时

把 \(2\) 提出来：

\[x=2t=(x+y)(x-y) \]

所以设 \(x+y=2m,x-y=k\) ，\(m,k\) 皆为奇数 。因为 \(2m\) 已经是偶数了，如果 \(k\) 还是偶数，那么就 \(x \bmod 4=0\)，与题设矛盾，不成立 。

则解得

\[\begin{cases} x=\frac{2m+k}{2}=m+\frac{k}{2} \\y=\frac{2m-k}{2}=m-\frac{k}{2}\end{cases} \]

显然 \(x,y\) 为不是整数，不成立。

因此得证。

代码细节

注意 \(l,r\) 都是负数时加特判，把他变成正数的情况。

因为 c++ 在对负数取模时，会先把负数去掉，把他当成正数后取模，最后再加上负号。和我们先模在加再模的方式不同。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pi;
ll t,l,r;
int main()
{
	freopen("construct.in","r",stdin);
	freopen("construct.out","w",stdout);
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		cin>>l>>r;
		ll rg=r-l+1;
		if(r<0)
		{
			l*=-1;
			r*=-1;
			swap(l,r);
		}
		if(r%4==0)r-=2;
		else if(r%4==1)r-=3;
		else if(r%4==3)r-=1;
		cout<<rg-ll(ceil((r-l+1)/4.0))<<endl;
	}
	return 0;
}