【总结】图的储存于遍历

图的基本概念

• 定义
  图 (Graph) 是由若干给定的 顶点（vertex） 及连接两顶点的 边（edge） 所构成的图形。

• 功能
  用来描述某些事物之间的某种特定关系
  例如：顶点用于代表事物，而边用于表示两个事物间所具有某种关系。

• 组成
  二元组：\(G = (V(G), E(G))\)

  • \(V(G)\)：点集，对于集合 \(V\) 中的每个元素，我们称其为 顶点 或 节点，简称 点 。
  • \(E(G)\)：为 \(V(G)\) 中各结点之间边的集合，称为 边集。

• 种类

  • 无向图
    边没有指定的方向。
  • 有向图：
    边有指定的方向。
  • 带权图
    边上带有权值的图：
  • 正权图
    边权没有负数的图
  • 负权图
    边权有负数的图

• 其它术语

  • 连通图 (connected graph) ： 任意两点之间都有路径连接的图。

  • 自环 (loop)： 对 \(E\) 中的边 \(e = (u, v)\)，若 \(u = v\)，则 \(e\) 被称作一个自环。

  • 度 (degree) ： 与一个顶点 \(v\) 关联的边的条数，记作。
    特别的，在有向图中有出度和入度。

    • 入度 (in-degree)： 以点 \(v\) 为 弧头 的边的数目称为该顶点的入度 。

    • 出度 (out-degre)： 以点 \(v\) 为 弧尾 的边的数目称为该顶点的出度。

  • 有向无环图 (DAG)： 没有环的有向图。

图的存储及遍历

邻接矩阵

这是最简单的存储方式，我们定义一个二位 bool 数组 \(G\), 若 \(G_{i, j}\) 为 \(1\)，表示有边，否则无边。如果是无向图，则要双向存边。

const int MAXN = 1005;
bool G[MAXN][MAXN];
void dfs(int k) {
	printf("%d ", k);
	vis[k] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (G[k][i] && !vis[i])
			dfs(i);
}
int n, m;
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= m; i++) {
	int x, y;
	scanf("%d %d", &x, &y);
	G[x][y] = 1;
}
dfs(1);

对于带权图我们就会换成 \(int\) 类型，\(G_{i, j}\) 的值，就是 \(i\) 到 \(j\) 的边权。

const int MAXN = 1005;
int G[MAXN][MAXN];
int n, m;
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= m; i++) {
	int x, y, w;
	scanf("%d %d %d", &x, &y, &w);
	G[x][y] = w;
}

邻接表

我们一边使用 vector 实现。

用来记录与每个点相邻的点。

const int MAXN = 1e4 + 5;
vector<int> G[MAXN];
for (int i = 1, u, v; i <= m; i++) {
    scanf("%d %d", &u, &v);
    G[u].push_back(v);
    G[v].push_back(u);
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
	sort(v[i].begin(), v[i].end(), cmp);
	for (int j = 0; j < v[i].size(); j++)
		printf("%d ", v[i][j]);
	printf("\n");
}

链式前向星

链式前向星就是数组实现的邻接表。

我个人还是喜欢用链式前向星。

const int MAXN = 2005, MAXM = 20005;
int n, m;
int head[MAXN], next[MAXM], ver[MAXM], edge[MAXM], tot;
void add(int x, int y, int z) {
	next[++tot] = head[x], head[x] = tot, ver[tot] = y, edge[tot] = z;
}
void dfs(int k) {
	vis[k] = 1;
	printf("%d ", k);
	for (int i = head[k]; i; i = next[i]) {
		int v = ver[i];
		if (!vis[v])
			dfs(v);
	}
}
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= m; i++) {
	int x, y, z;
	scanf("%d %d %d", &x, &y, &z);
	add(x, y, z), add(y, x, z);
}
dfs(1);