【总结】树状数组

树状数组的概念

树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T))是一个区间查询和单点修改复杂度都为 \(\log n\) 的数据结构。主要用于查询任意两点之间的所有元素之和。

引入

• 问题的提出
  有一个一维数组，长度为 \(n\)。
  对这个数组做两种操作：

  1. 修改，对第 \(i \to j\) 之间的某元素增加 \(v\)。
  2. 求和，求 \(i\) 到 \(j\) 的和。

• 朴素算法

  • 用 for 循环从 \(i\) 到 \(j\) 依次求和，时间复杂度：\(O(n)\)

  • 缺陷：当数据规模极大的时候，将会变得效率低下。

• 前缀和

  • 我们可以做到查询 \(O(1)\)，
  • 但是我们的修改依旧很慢

• 我们可以采用树状数组
  

lowbit

lowbit(i)的意思是将 \(i\) 转化成二进制数之后，只保留最低位的 \(1\) 其后面的 \(0\)，截断前面的内容，然后再转成十进制数，这个数也是树状数组中 \(i\) 号位的子叶个数。

这里直接给出式子
lowbit(x) = x & (-x)

Build

我们可以采用一种类似 \(DP\) 的方式，转移每一个节点对后面节点的贡献，最后得到我们的树状数组，其时间复杂度为 \(O(n)\)

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	scanf("%d", &a[i]);
	c[i] += a[i];
	if (i + lowbit(i) <= n)
		c[i + lowbit(i)] += c[i];
}

Update

该操作可以将 \(A_x + k\)。所以我们可以用这种方式进行建树，即对于每一种节点进行一次 Update，但是这样的时间复杂度是 \(O(n log n)\) 的。建议结合图分析。

void update(int x, int k) {
	while (x <= n) {
		c[x] += k;
		x += lowbit(x);
	}
}

query

该操作可以求得 \(\sum_{i = 1}^x i\)，即 \(x\) 的前缀和。建议结合图分析。

int query(int x) {
	int ans = 0;
	while (x) {
		ans += c[x];
		x -= lowbit(x);
	}
	return ans;
}

不要问我为什么要这张图放这么多次

推广

• 单点查询，区间修改
  我们可以联想到一个叫差分的东西，我们可以维护一个差分数组，将区间查询，单点修改转化为单点查询，区间修改。

• 区间修改，区间查询

我们定义序列 \(a\) 的差分为 \(b\), 我们要求一个前缀 \(r\) 求和由差分数组的定义得到 \(a_i = \sum_{j = 1} ^ i b_j\)
进行推导

\[\begin{aligned} &\sum_{i=1}^{r} a_i\\=&\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^i b_j\\=&\sum_{i=1}^r b_i\times(r-i+1) \\=&\sum_{i=1}^r b_i\times (r+1)-\sum_{i=1}^r b_i\times i \end{aligned} \]

我们只需分别维护他们就可以了。
具体代码如下：

#include <cstdio>
#define int long long
#define lowbit(x) (x & (-x))
const int MAXN = 1e6 + 5;
int n, q;
int a[MAXN], c1[MAXN], c2[MAXN];
void Add(int x, int v) {
	int v1 = v * x;
	while (x <= n) {
		c1[x] += v, c2[x] += v1;
		x += lowbit(x);
	}
}
int Sum(int* c, int x) {
	int res = 0;
	while (x) {
		res += c[x];
		x -= lowbit(x);
	}
	return res;
}
void update(int l, int r, int k) {
	Add(l, k), Add(r + 1, -k);
}
int query(int l, int r) {
	return (r + 1) * Sum(c1, r) - l * Sum(c1, l - 1) - (Sum(c2, r) - Sum(c2, l - 1));
}
signed main() {
	scanf("%lld %lld", &n, &q);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%lld", &a[i]);
		update(i, i, a[i]);
	}
	while (q--) {
		int op, x, y, k;
		scanf("%lld %lld %lld", &op, &x, &y);
		if (op == 1) {
			scanf("%lld", &k);
			update(x, y, k);
		} else {
			printf("%lld\n", query(x, y));
		}
	}
	return 0;
} 

我们可以类比普通的树状数组得到二维树状数组，但是对于这一系列操作，我们需要用到容斥原理。

• 二维树状数组：区间查询，单点修改

#include <cstdio>
#define int long long
#define lowbit(x) (x & (-x))
const int MAXN = (2 << 12) + 5;
int n, m, op, x, y, u, v, k;
int a[MAXN][MAXN];
int c[MAXN][MAXN];
void update(int x, int y, int k) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
        for (int j = y; j <= m; j += lowbit(j))
            c[i][j] += k;
}
int query(int x, int y) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i))
        for (int j = y; j > 0; j -= lowbit(j))
            res += c[i][j];
    return res;
}
signed main() {
	scanf("%lld %lld", &n, &m);
	while (~scanf("%lld", &op)) {
		if (op == 1) {
			scanf("%lld %lld %lld", &x, &y, &k);
			update(x, y, k);
		} else {
			scanf("%lld %lld %lld %lld", &x, &y, &u, &v);
			printf("%lld\n", query(u, v) - query(u, y - 1) - query(x - 1, v) + query(x - 1, y - 1)); 
		}
	}
	return 0;
}

• 二维树状数组：单点查询，区间修改

#include <cstdio>
#define int long long
#define lowbit(x) (x & (-x))
const int MAXN = 5005;
int n, m, op, x, y, u, v, k;
int a[MAXN][MAXN];
int c[MAXN][MAXN];
void update(int x, int y, int k) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
        for (int j = y; j <= m; j += lowbit(j))
            c[i][j] += k;
}
int query(int x, int y) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i))
        for (int j = y; j > 0; j -= lowbit(j))
            res += c[i][j];
    return res;
}
signed main() {
	scanf("%lld %lld", &n, &m);
	while (~scanf("%lld", &op)) {
		if (op == 1) {
			scanf("%lld %lld %lld %lld %lld", &x, &y, &u, &v, &k);
			update(u + 1, v + 1, k), update(x, y, k), update(x, v + 1, -k), update(u + 1, y, -k);
		} else {
			scanf("%lld %lld", &x, &y);
			printf("%lld\n", query(x, y)); 
		}
	}
	return 0;
}

• 二维树状数组：区间查询，区间修改
  同一维树状数组，我们首先推一下式子

#include <cstdio>
#define int long long
#define lowbit(x) (x & (-x))
const int MAXN = 5005;
int n, m, op, x, y, u, v, k;
int a[MAXN][MAXN];
int c1[MAXN][MAXN], c2[MAXN][MAXN], c3[MAXN][MAXN], c4[MAXN][MAXN];
void update(int x, int y, int k) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
        for (int j = y; j <= m; j += lowbit(j)) {
        	c1[i][j] += k;
        	c2[i][j] += x * k;
    		c3[i][j] += y * k;
    		c4[i][j] += x * y * k;
		}
}
int query(int x, int y) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i))
        for (int j = y; j > 0; j -= lowbit(j)) {
        	res += (x + 1) * (y + 1) * c1[i][j] - (y + 1) * c2[i][j] - (x + 1) * c3[i][j] + c4[i][j];
		}
    return res;
}
signed main() {
	scanf("%lld %lld", &n, &m);
	while (~scanf("%lld", &op)) {
		if (op == 1) {
			scanf("%lld %lld %lld %lld %lld", &x, &y, &u, &v, &k);
			update(u + 1, v + 1, k), update(x, y, k), update(x, v + 1, -k), update(u + 1, y, -k);
		} else {
			scanf("%lld %lld %lld %lld", &x, &y, &u, &v);
			printf("%lld\n", query(u, v) - query(u, y - 1) - query(x - 1, v) + query(x - 1, y - 1)); 
		}
	}
	return 0;
}

例题