扩展中国剩余定理 (exCRT) 的证明与练习
原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/exCRT.html
扩展中国剩余定理 (exCRT) 的证明与练习
问题模型
给定同余方程组
$$\begin{cases}x&\equiv&x_1&\pmod {p_1}\\x&\equiv&x_2&\pmod {p_2}\\ &&\vdots\\x&\equiv&x_n&\pmod {p_n}\end{cases}$$
求解 $x$ 在对 ${\rm lcm}(p_1,p_2,\cdots ,p_n)$ 取模的意义下的值，或判断无解。
证明
我们只需要知道如何合并两个方程，就可以将原方程组逐个合并了，所以下面只介绍合并两个方程的方法。
$$\begin{eqnarray*}x&\equiv& a_1&\pmod {p_1}\\x&\equiv& a_2&\pmod {p_2}\end{eqnarray*}$$
则 $x=a_1+k_1p_1=a_2+k_2p_2$ 。
令 $p={\rm lcm}(p_1,p_2)$，需要求形同 $x\equiv a\pmod p$的一个式子。
$$\begin{eqnarray*}a_1+k_1p_1&\equiv&a_2+k_2p_2 &\pmod {p}\\a_2-a_1&\equiv&k_1p_1-k_2p_2 & \pmod {p}\end{eqnarray*}$$
我们先用 exgcd 求解方程 $p_1x+p_2y=\gcd(p_1,p_2)$。设 $g=\gcd(p_1,p_2),z=a_2-a_1$。
由于 $g|p$ ，所以，如果 $g|z$ 不成立，那么显然 $g+kp|z$ 也不成立，故无解。
否则有解。记 $t=\frac zg$ ，则 $k_1=tx_1,k_2=-tx_2$，于是，$a\equiv a_1+k_1p_1\equiv a_2+k_2p_2\pmod p$ ，单次合并完成。
习题
模板题
注：由于博主是很久之前做这道模板题的，所以这份模板很丑。要看模板建议看下面的习题内的代码。
习题
