BZOJ2669 [cqoi2012]局部极小值 状压DP 容斥原理
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题意概括
有一个n行m列的整数矩阵，其中1到nm之间的每个整数恰好出现一次。如果一个格子比所有相邻格子（相邻是指有公共边或公共顶点）都小，我们说这个格子是局部极小值。
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1.in |
1.out |
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1 3 .X. |
2 |
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2.in |
2.out |
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2 2 X. .X |
0 |
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3.in |
3.out |
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3 2 X. .. .X |
60 |
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4.in |
4.out |
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3 6 ....X. ...... .X...X |
869490 |
题解
大半个月没发博文了，冒个泡（也许我太弱了，又在放水题）
这题有一个大大的坑点。
要保证'.'不是局部极小值。
我们先假设可以不保证这个东西。
对于某一个局面（已知某些位置一定是局部最小值，其他位置不一定是局部最小值），我们如果要求得方案总数，可以写状压dp。
我们把局部最小点的占用情况状态压缩一下。
然后用dp[i][j]表示填了前i个数字(即1..i)，然后局部最小点的占用状态为j的方案总数。
那么自然，我们要预处理2个值。
一个是当前状态下的局部最小点占用数cnt_chosen[i]（当然这个不预处理也可以的……）
一个是当前状态下多少非局部最小点是可以填数的，记为cnt_clock[i]（博主英语不好，不要介意）
在不断选择点的过程中，这个数是很有用的，而且不会受到后来填的数的影响。
那么，对于dp[i][j]，接下来可行的非局部最小点数就是relax_clock = cnt_clock[j] - (i - cnt_chosen[j])。
具体那个cnt_clock怎么求，就是除掉局部最小点以及未选择的局部最小点周围的8连通点以外的点数。
那么转移方程分成两个部分，一个是接下来选择一个非局部最小点，有relax_clock种方案。
另一种是选择一个未选择的局部最小点，这个基本上是基础的状压dp。
接下来是最强大的一步了！
怎么避免原来的非局部最小点也变成局部最小点呢？
答案是 —— 容斥！！！
可怕，用dfs操作，奇加偶减即可。
代码
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#define FOR(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int N=10,M=15,P=10,S=1<<9,mod=12345678;
int n,m,s,totp,cnt_clock[S],cnt_chosen[S],dp[30][S],ans;
bool f[N][M];
struct Point{
int x,y;
Point (){}
Point (int x_,int y_){
x=x_,y=y_;
}
}p[P];
void init(){
char ch[N][M];
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=n;i++)
scanf("%s",ch[i]+1);
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=m;j++)
f[i][j]=ch[i][j]=='.'?0:1;
}
bool check(int x,int y){
return 1<=x&&x<=n&&1<=y&&y<=m;
}
bool fail_simple_judge(){// judge of 0
FOR(i,1,n)
FOR(j,1,m)
if (f[i][j])
FOR(x,i-1,i+1)
FOR(y,j-1,j+1)
if ((x!=i||y!=j)&&check(i,j)&&f[x][y])
return 1;
return 0;
}
void getp(){
totp=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=m;j++)
if (f[i][j])
p[totp++]=Point(i,j);
}
void get_cnt(){
bool g[N][M],mark[N][M];
s=1<<totp;
for (int i=0;i<s;i++){
memset(g,0,sizeof g);
memset(mark,0,sizeof mark);
cnt_chosen[i]=cnt_clock[i]=0;
for (int j=0;j<totp;j++)
if (i&(1<<j))
cnt_chosen[i]++;
else {
Point v=p[j];
int x=v.x,y=v.y;
g[x][y]=1;
}
FOR(x,1,n)
FOR(y,1,m)
if (g[x][y])
FOR(a,x-1,x+1)
FOR(b,y-1,y+1)
if (check(a,b))
mark[a][b]=1;
for (int j=0;j<totp;j++){
Point v=p[j];
int x=v.x,y=v.y;
mark[x][y]=1;
}
FOR(x,1,n)
FOR(y,1,m)
if (!mark[x][y])
cnt_clock[i]++;
}
}
int DP(){
getp();
get_cnt();
memset(dp,0,sizeof dp);
dp[0][0]=1;
for (int i=0;i<n*m;i++)
for (int j=0;j<s;j++){
if (dp[i][j]==0)
continue;
int relax_clock=cnt_clock[j]-(i-cnt_chosen[j]);
dp[i+1][j]=(dp[i+1][j]+1LL*dp[i][j]*relax_clock%mod)%mod;
for (int k=0;k<totp;k++)
if (!(j&(1<<k))){
int j_=j|(1<<k);
dp[i+1][j_]=(dp[i+1][j_]+dp[i][j])%mod;
}
}
return dp[n*m][s-1];
}
void dfs(int x,int y,int op,int add){
if (add)
ans=(ans+DP()*op+mod)%mod;
int x_=x,y_=y;
if (x==n&&y==m)
return;
if (y==m)
x_++,y_=1;
else
y_++;
dfs(x_,y_,op,0);
FOR(i,x-1,x+1)
FOR(j,y-1,y+1)
if (check(i,j)&&f[i][j])
return;
f[x][y]=1;
dfs(x_,y_,-op,1);
f[x][y]=0;
}
int main(){
init();
if (fail_simple_judge()){
printf("0");
fclose(stdin);fclose(stdout);
return 0;
}
ans=0;
dfs(1,1,1,1);
printf("%d",ans);
return 0;
}
