四边形不等式证明简单推导

前提条件

对于\(a\le b\le c\le d\)，有\(f[a][c]+f[b][d]\le f[a][d]+f[b][c]\)，

证明内容

对于\(l,r,opt\in(l,r)\)，
若已知：\(\forall opt'\neq opt,opt'\in(l,r),f[l][opt]+f[opt+1][r]\le f[l][opt']+f[opt'+1][r]\)，记作\(1\)式。
求证：\(\forall opt'\in(l,opt),f[l][opt]+f[opt+1][r+1]\le f[l][opt']+f[opt'+1][r+1]\)

证明过程

证：
代入\(a=opt'+1,b=opt+1,c=r,d=r+1\)至前提条件，
得到\(f[opt'+1][r]+f[opt+1][r+1]\le f[opt'+1][r+1]+f[opt+1][r]\)，记作\(2\)式。
通过\(1\)式加\(2\)式，并消去整理，得证

附：决策优化后的复杂度分析

\(f(1,l+1)=R[2,l+1]-R[1,l]\)
\(f(2,l+2)=R[3,l+2]-R[2,l+1]\)
···
\(f(n-l,n)=R[n-l+1,n]-R[n-l,n-1]\)

\(T'(l)=f(1,l+1)+f(2,l+2)+···f(n-l,n)=R[n-l+1,n]-R[1,l]=O(n)\)
\(T(n)=\sum_{i=1}^{n-1}T'(i)=O(n^2)\)