容斥原理

容斥原理经常用于许多常见计数问题，往往在普通计数问题上加上某些限制。比如要求n个元素都要满足某种限制。于是我们考虑钦定有0个元素不满足（除了这0个钦定外，剩下元素随意，本质上就是所有元素都任意），减去钦定有1个元素不满足的方案数，加上钦定有2个元素不满足方案数……所求即为所有元素都满足的方案数。容斥系数只需记住第一个必须是1，剩下的就-1 1交替即可。

不定方程非负整数解计数

求解约束方程的整数解个数：x1 + x2 + x3 = 11
( x1, x2, x3 为非负整数，且 x1 <= 3，x2 <= 4，x3 <= 6 )

通过比较简单的例题就可以大概感受到容斥原理是什么样子。下面考虑推广到n更大的情况。

给出不定方程 \(\sum_{i=1}^{n} x_{i}=m\) 和 \(n\) 个限制条件 \(x_{i} \leq b_{i}\) ，其中 \(m, b_{i} \in \mathbb{N}\) ．求方程的非负整数解的个数．

没有限制时
如果没有 \(x_{i} \leq b_{i}\) 的限制，那么不定方程 \(\sum_{i=1}^{n} x_{i}=m\) 的非负整数解的数目为 \(\binom{m+n-1}{n-1}\) ．

略证：插板法．
相当于你有 \(m\) 个球要分给 \(n\) 个盒子，允许某个盒子是空的．这个问题不能直接用组合数解决．
于是我们再加入 \(n-1\) 个球，于是问题就变成了在一个长度为 \(m+n-1\) 的球序列中选择 \(n-1\) 个球，然后这个 \(n-1\) 个球把这个序列隔成了 \(n\) 份，恰好可以一对应放到 \(n\) 个盒子中．那么在 \(m+n-1\) 个球中选择 \(n-1\) 个球的方案数就是 \(\binom{m+n-1}{n-1}\) ．

一般情况

接着我们尝试抽象出容斥原理的模型：
1．全集 U：不定方程 \(\sum_{i=1}^{n} x_{i}=m\) 的非负整数解
2．元素：变量 \(x_{i}\) ．
3．属性： \(x_{i}\) 的属性即 \(x_{i}\) 满足的条件，即 \(x_{i} \leq b_{i}\) 的条件
目标：所有变量满足对应属性时集合的大小，即 \(\left|\bigcap_{i=1}^{n} S_{i}\right|\) ．
这个东西可以用 \(\left|\bigcap_{i=1}^{n} S_{i}\right|=|U|-\left|\bigcup_{i=1}^{n} \overline{S_{i}}\right|\) 求解． \(|U|\) 可以用组合数计算，后半部分自然使用容斥原理展开．

那么问题变成，对于一些 \(\overline{S_{a_{i}}}\) 的交集求大小．考虑 \(S_{a_{i}}\) 的含义，表示 \(x_{a_{i}} \geq b_{a_{i}}+1\) 的解的数目．而交集表示同时满足这些条件．因此这个交集对应的不定方程中，有些变量有下界限制，而有些则没有限制．

能否消除这些下界限制呢？既然要求的是非负整数解，而有些变量的下界又大于 0 ，那么我们直接把这个下界减掉，就可以使得这些变量的下界变成 0，即没有下界啦．因此对于

\[\left|\bigcap_{a_{i}<a_{i 1} 1}^{1 \leq i \leq k} S_{a_{i}}\right| \]

的不定方程形式为

\[\sum_{i=1}^{n} x_{i}=m-\sum_{i=1}^{k}\left(b_{a_{i}}+1\right) \]

于是这个也可以组合数计算啦．这个长度为 \(k\) 的 \(a\) 数组相当于在枚举子集．

解的个数 :

\[\binom{m+n-1}{n-1}-\sum_{\emptyset \neq A \subseteq\{1, \ldots, n\}}(-1)^{|A|+1}\binom{m-\sum_{i \in A}\left(b_{i}+1\right)+n-1}{n-1} \]

由于容斥的过程相当于枚举 \(\{1, \ldots, n\}\) 的子集，因此直接计算的复杂度是 \(O(2^n)\) .

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