字符串之Manncher算法

转载:刘毅

给定一个字符串，求出其最长回文子串。例如：

1. s="abcd"，最长回文长度为 1；
2. s="ababa"，最长回文长度为 5；
3. s="abccb"，最长回文长度为 4，即 bccb。

以上问题的传统思路大概是，遍历每一个字符，以该字符为中心向两边查找。其时间复杂度为 O(n2)，效率很差。

1975 年，一个叫 Manacher 的人发明了一个算法，Manacher 算法（中文名：马拉车算法），该算法可以把时间复杂度提升到 O(n)。下面来看看马拉车算法是如何工作的。

算法过程分析

由于回文分为偶回文（比如 bccb）和奇回文（比如 bcacb），而在处理奇偶问题上会比较繁琐，所以这里我们使用一个技巧，具体做法是：

1. 在字符串首尾及每个字符间都插入一个 "#"，这样可以使得原先的奇偶回文都变为奇回文；
2. 接着再在首尾两端各插入 "$" 和 "^"，这样中心扩展寻找回文的时候会自动退出循环，不需每次判断是否越界，可参见下面代码。
3. 上述新插入的三个字符，即 "#"、 "$" 和 "^"，必须各异，且不可以与原字符串中的字符相同。

举个例子：s="abbahopxpo"，转换为 s_new="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#^"。如此，s 里起初有一个偶回文 abba 和一个奇回文 opxpo，被转换为 #a#b#b#a# 和 #o#p#x#p#o#，长度都转换成了奇数。

定义一个辅助数组 int p[]，其中 p[i] 表示以 i 为中心的最长回文的半径，例如：

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
s_new[i]	$	#	a	#	b	#	b	#	a	#	h	#	o	#	p	#	x	#	p	#	o	#	^
p[i]	1	1	2	1	2	5	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	6	1	2	1	2	1	1

可以看出，p[i] - 1 正好是原字符串中最长回文串的长度。

接下来的重点就是求解 p 数组，如下图：

设置两个变量，mx 和 id 。mx 代表以 id 为中心的最长回文的右边界，也就是 mx = id + p[id]。

假设我们现在求 p[i]，也就是以 i 为中心的最长回文半径，如果 i < mx，如上图，那么：

if (i < mx)  
    p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);

2 * id - i 为 i 关于 id 的对称点，即上图的 j 点，而 p[j]表示以 j 为中心的最长回文半径，因此我们可以利用 p[j] 来加快查找。