[UOJ310][UNR #2]黎明前的巧克力

uoj

description

给你\(n\)个数，求从中选出两个交集为空的非空集合异或和相等的方案数模\(998244353\)。

sol

其实也就是选出一个集合满足异或和为\(0\)，然后把它分成两半。
利用生成函数那套理论，就是对于每个\(a_i\)，构造一个多项式\(b_i\)，其中\(b_0=1,b_{a_i}=2\)，然后把这\(n\)个\(b\)做集合异或卷积。这样我们就得到了一个优秀的\(O(na_i\log a_i)\)的做法辣（雾）。
我们考虑一下\(b_0=1,b_{a_i}=2\)的这个\(b\)做一次\(FWT\)后会发生什么。
打表发现，\(b_0=1\)会使得每个位置\(+1\)，\(b_{a_i}=2\)会使得某些位置\(+2\)，某些位置\(-2\)。所以最终变换出来的序列里只有\(3\)和\(-1\)。
我们能不能手动构造一下这若干个\(b\)的积呢？显然是可以的。我们只需要知道每一个位置上\(3\)的个数就行了（因为不是\(3\)就是\(-1\)，知道了\(3\)的个数也就确定了\(-1\)的个数）。
对于每个\(a_i\)，在\(b_{a_i}\)的地方加个\(1\)，然后把这个\(b\)\(FWT\)一下，得到的就是每一个位置上\(3\)的个数减去\(-1\)的个数。
所以就可以方便地构造出乘积然后\(FWT\)回去了。

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int gi(){
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
const int N = 1<<20;
const int mod = 998244353;
int n,mx,len=1,a[N],b[N];
int fastpow(int a,int b){
	int res=1;
	while(b){if(b&1)res=1ll*res*a%mod;a=1ll*a*a%mod;b>>=1;}
	return res;
}
void fwt(int *P,int opt){
	for (int i=1;i<len;i<<=1)
		for (int p=i<<1,j=0;j<len;j+=p)
			for (int k=0;k<i;++k){
				int x=P[j+k],y=P[j+k+i];
				P[j+k]=1ll*(x+y)*opt%mod;
				P[j+k+i]=1ll*(x-y+mod)*opt%mod;
			}
}
int main(){
	n=gi();int inv2=(mod+1)/2;
	for (int i=1,x;i<=n;++i)
		x=gi(),++a[x],mx=max(mx,x);
	while (len<=mx) len<<=1;
	fwt(a,1);
	for (int i=0;i<len;++i){
		int x=1ll*(a[i]+n)*inv2%mod;
		a[i]=fastpow(3,x);if((n-x)&1)a[i]=mod-a[i];
	}
	fwt(a,inv2);
	printf("%d\n",(a[0]-1+mod)%mod);
	return 0;
}