[BZOJ4652][NOI2016]循环之美

BZOJ
Luogu

sol

这么久了终于把这个杜教筛的坑给填完了
首先有这样一个性质：要让一个分数在k进制下是纯循环小数，就必须满足其分母y与k互质。
所以这题我们求的就是$$\sum_{i=1}^{{n}\sum_{j=1}}[j\bot k][i\bot j]$$

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[j\bot k][i\bot j]=\sum_{j=1}^{m}[j\bot k]\sum_{i=1}^{n}[i\bot j]\\=\sum_{j=1}^{m}[j\bot k]\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|\gcd(i,j)}\mu(d)\\=\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)\lfloor\frac nd\rfloor\sum_{j=1}^{m}[jd\bot k]\\=\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)[d\bot k]\lfloor\frac nd\rfloor\sum_{j=1}^{m/d}[j\bot k] \]

所以我们现在要求函数\(F(n,k)=\sum_{i=1}^{n}[i\bot k]\)和函数\(S(n,k)=\sum_{i=1}^{n}\mu(i)[i\bot k]\)的前缀和。
前面一个好求，因为若\(i\bot k\)，则有\(i+nk\bot k\)，所以只要预处理出\(k\)以内的就可以了。
后面那个，需要推一推式子。

\[S(n,k)=\sum_{i=1}^{n}\mu(i)[i\bot k]\\=\sum_{i=1}^{n}\mu(i)\sum_{d|i,d|k}\mu(d)\\=\sum_{d|k}\mu(d)\sum_{d|i}\mu(i)\\=\sum_{d|k}\mu(d)\sum_{i=1}^{n/d}\mu(id)\\=\sum_{d|k}\mu(d)\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)\mu(d)[i\bot d]\\=\sum_{d|k}\mu(d)^2\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)[i\bot d]\\=\sum_{d|k}\mu(d)^2S(\lfloor\frac nd\rfloor,d) \]

然后会发现递归到\(k=1\)时就已经是边界了。
发现\(S(n,1)=\sum_{i=1}^{n}\mu(i)\)，就是\(\mu(i)\)的前缀和呀。直接掏出杜教筛。

code

记得判质数的数组一定要开成bool不然就会英勇地MLE

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;
#define RG register
const int N = 10000000;
inline int gi()
{
	RG int x=0,w=1;RG char ch=getchar();
	while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
bool zhi[N+5];
int pri[N],tot,mu[N+5],s[N+5],f[2005];
map<pair<int,int>,int>M;
inline void Sieve()
{
	zhi[1]=true;mu[1]=1;
	for (RG int i=2;i<=N;++i)
	{
		if (!zhi[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for (RG int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=N;++j)
		{
			zhi[i*pri[j]]=true;
			if (i%pri[j]) mu[i*pri[j]]=-mu[i];
			else break;
		}
	}
	for (RG int i=1;i<=N;++i) s[i]=s[i-1]+mu[i];
}
int S(RG int n,RG int k)
{
	if (!n) return 0;
	if (k==1&&n<=N) return s[n];
	if (M[make_pair(n,k)]) return M[make_pair(n,k)];
	RG int res=0;
	if (k==1)
	{
		res=1;RG int i=2,j;
		while (i<=n)
		{
			j=n/(n/i);
			res-=(j-i+1)*S(n/i,1);
			i=j+1;
		}
	}
	else
	{
		for (RG int i=1;i*i<=k;++i)
			if (k%i==0)
			{
				if (mu[i]) res+=S(n/i,i);
				if (i*i!=k&&mu[k/i]) res+=S(n/(k/i),k/i);
			}
	}
	return M[make_pair(n,k)]=res;
}
int gcd(RG int a,RG int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
int main()
{
	Sieve();
	RG int n=gi(),m=gi(),k=gi();
	for (RG int i=1;i<=k;++i) f[i]=f[i-1]+(gcd(i,k)==1);
	RG int i=1,j,gg,pre=0,cur;RG long long ans=0;
	while (i<=n&&i<=m)
	{
		j=min(n/(n/i),m/(m/i));
		gg=(m/i)/k*f[k]+f[(m/i)%k];
		cur=S(j,k);
		ans+=1ll*(n/i)*gg*(cur-pre);
		i=j+1;pre=cur;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}